Question

特征值对应的广义特征向量有几个

D选项怎么求，是不是对的？

Answer 1

当特征值有重根时，一般有代数重数≥几何重数(几何重数指线性无关的特征向量个数)。①代数重数＝几何重数，即k个特征值对应k个特征向量。几何诠释: 每个特征值就是线性空间特征向量(坐标轴)上的坐标；代数诠释: 矩阵A可以相似变换化简为对角阵∧，且对角元＝特征值。②代数重数﹥几何重数，即特征值多，特征向量少。几何诠释: 线性空间坐标轴不足，特征值不能在线性空间标定位置；代数诠释: 特征向量矩阵不可逆，矩阵相似变换式不成立，A不能化简为∧。③引入《广义特征向量》解决了特征代数方程有重根时，几何重数＜代数重数，坐标轴不足的困境。有重根时由齐次方程组求解广义特征向量(基础解系)，系数矩阵是含指数的矩阵，一个根代数重数是 j，系数矩阵的指数即是 j，于是求出 j 个广义特征向量。∴ D正确。(可选 A、D)。

Answer 2

因为若尔当标准型中的3的总数为4，所以，特征根3的代数重数等于4。
因为若尔当块阶数为3，所以广义特征向量有3-1==2支。
因为纯对角块阶数为1，所以特征值3的几何重数为1+1==2。
综上，A对应于特征值3的特征向量总数为4，其中有2支为普通特征向量，普通特征向量中的1支特征向量与纯对角块3对应，而另一支与若尔当块对应。广义特征向量有2支，均与若尔当块对应。
我咋觉得，D不对呢？

Answer 3

广义特征向量？