Question

有没有大神会做复变函数中留数的题，跪求学霸

有没有大神会做复变函数中留数的题，跪求学霸画绿圈的题，图二的题目是利用留数求解下列积分。过程最好能详细一些

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Answer 1

在|z|≤3的圆内tan(πz)=sin(πz)/cos(πz)，奇点为cos(πz)=0，即z=±1/2,±3/2,±5/2
∮tan(πz)dz=2πi*{Res(tan(πz),-1/2)+Res(tan(πz),-3/2)+Res(tan(πz),-5/2)+Res(tan(πz),1/2)+Res(tan(πz),3/2)+Res(tan(πz),5/2)}
Res(tan(πz),-1/2)=sin(πz)/[cos(πz)]'|(z=-1/2)=1/π
同理Res(tan(πz),1/2)=-1/π,Res(tan(πz),5/2)=-1/π...
∮tan(πz)dz=0

追问

那图一的那三道怎么解啊，大神如果方便的话，可以用纸写下来么

追答

(3)分子=(z-1)(z-2),可知z=1为可去奇点，z=2为一阶极点
(4)z=±i为二阶极点，e^(iπ)=e^(-iπ)=cosπ=-1
(5)lim(z→1-)(1/(z-1))=-∞，lim(z→1+)(1/(z-1))=∞，z=1为本性奇点