Question

第6,7,8三个题目

Answer 1

6.证明
易知f(x)定义域为R.
故f(x)值域为(0,1].
显然，对任意M满足大于等于1，对在R上的x均有|f(x)|小于等于M
所以f(x)有界
7.证明
充分性.
由于f(x)存在上界M1与下界M2，根据定义可知f(x)大于等于M2，小于等于M1，根据绝对值不等式，应当有
-|M2|小于等于f(x)小于等于|M2，对M1同理，
所以只要取M=max{|M1|,|M2|}，就有|f(x)|小于等于M
必要性.
因为f(x)有界，所以存在M，使得|f(x)|小于等于M
即-M小于等于f(x)小于等于M，由此f(x)显然有上、下界
8.设F(x)=f(x)+f(-x)，G(x)=f(x)-f(-x)
F(-x)=f(x)+f(-x)=F(x),G(x)=f(-x)-f(x)=-G(x)
故而F(x)是偶函数，G(x)是奇函数。

假设f(x)可表示为偶函数g(x)与奇函数h(x)之和，那么f(x)=h(x)+g(x)，f(-x)=g(x)-h(x)。联立两式并消去h(x)或g(x)有
g(x)=[f(x)+f(-x)]/2
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
所以只要奇函数、偶函数分别为上述h(x)、g(x)形式，根据上述讨论，就有题设成立。

注：手机打不出来特殊符号，只能代以大写字母