Question

讨论函数f(x)=[(1+x)^1/x/e]^1/x,x>0 f(x)=e^-1/2在x=0处连续

讨论函数f(x)=[(1+x)^1/x/e]^1/x,x>0 f(x)=e^-1/2在x=0处连续求大神帮忙

Answer 1

回答如下：

左连续是指x→0-，也就是下面那个式子，是e^(1/2)

上面式子定义域x>0，要求的是右连续

只要求上面x>0式子在0+处的极限即可

把f(x)变形为e^lnf(x)，于是变为先求lin(x→0+)lnf(x)，然后把该极限A代入e^A即可

把幂1/x提到ln前面，然后ln[u(x)/e]/把除法化为减法

之后通分，变形成0/0型求极限，用两次洛必达法则

最后求得lin(x→0+)lnf(x)为1/2

即lin(x→0+)f(x)=e^1/2

函数单调有界准则：

单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。

在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。

一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。

二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数，并且要满足极限是趋于同一方向，从而证明或求得函数的极限值。

Answer 2

∵x＞0时,f(x)={[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)
∴两边同时取自然对数时,有：
㏑f(x)=㏑{[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)
即㏑f(x)=（1/x²）㏑[1+x]-(1/x)
∴根据洛必达法则：
lim（x→0）（1/x²）㏑[1+x]-(1/x)
＝lim（x→0）{㏑[1+x]-x}/（1/x²）
＝lim（x→0）{[1/（x+1）]-1}/2x
＝lim（x→0）-x/(2x²+2x)
＝lim（x→0）-1/(4x+2)
＝-½
lim（x→0）㏑{[1+(1/x)]^(1/x)/e}^(1/x)＝e^(-½ )
∴函数于x＝0处连续

Answer 3

函数什么时候能用等价替换?

追问

😅我直接套用公式了，麻烦大神说一下原因

追答

等价替换是趋向无穷小或无穷大

不是什么时候都能用的

追问

那个x是趋近与零的😁，请大神帮忙开窍。

追答

你能把题目发来看看吗

追问

😄大神帮帮忙

追答

追问

谢谢大神😂我再想想