讨论函数f(x)=[(1+x)^1/x/e]^1/x,x>0 f(x)=e^-1/2在x=0处连续
讨论函数f(x)=[(1+x)^1/x/e]^1/x,x>0f(x)=e^-1/2在x=0处连续求大神帮忙...
讨论函数f(x)=[(1+x)^1/x/e]^1/x,x>0 f(x)=e^-1/2在x=0处连续求大神帮忙
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回答如下:
左连续是指x→0-,也就是下面那个式子,是e^(1/2)
上面式子定义域x>0,要求的是右连续
只要求上面x>0式子在0+处的极限即可
把f(x)变形为e^lnf(x),于是变为先求lin(x→0+)lnf(x),然后把该极限A代入e^A即可
把幂1/x提到ln前面,然后ln[u(x)/e]/把除法化为减法
最后求得lin(x→0+)lnf(x)为1/2
即lin(x→0+)f(x)=e^1/2
函数单调有界准则:
单调增加(减少)有上(下)界的数列必定收敛。
在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。
一是先要用单调有界定理证明收敛,然后再求极限值。
二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数,并且要满足极限是趋于同一方向,从而证明或求得函数的极限值。
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∵x>0时,f(x)={[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)
∴两边同时取自然对数时,有:
㏑f(x)=㏑{[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)
即㏑f(x)=(1/x²)㏑[1+x]-(1/x)
∴根据洛必达法则:
lim(x→0)(1/x²)㏑[1+x]-(1/x)
=lim(x→0){㏑[1+x]-x}/(1/x²)
=lim(x→0){[1/(x+1)]-1}/2x
=lim(x→0)-x/(2x²+2x)
=lim(x→0)-1/(4x+2)
=-½
lim(x→0)㏑{[1+(1/x)]^(1/x)/e}^(1/x)=e^(-½ )
∴函数于x=0处连续
∴两边同时取自然对数时,有:
㏑f(x)=㏑{[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)
即㏑f(x)=(1/x²)㏑[1+x]-(1/x)
∴根据洛必达法则:
lim(x→0)(1/x²)㏑[1+x]-(1/x)
=lim(x→0){㏑[1+x]-x}/(1/x²)
=lim(x→0){[1/(x+1)]-1}/2x
=lim(x→0)-x/(2x²+2x)
=lim(x→0)-1/(4x+2)
=-½
lim(x→0)㏑{[1+(1/x)]^(1/x)/e}^(1/x)=e^(-½ )
∴函数于x=0处连续
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函数什么时候能用等价替换?
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😅我直接套用公式了,麻烦大神说一下原因
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等价替换是趋向无穷小或无穷大
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