Question

设函数f(x)的定义域为D存在x0∈D,使f(x0)=x0成立，称以(x0,y0)为坐标的点为函数f(x)图象上的稳定点。

若f(x)满足飞f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x，D=R，且f(x)有且仅有一个稳定点，求函数f(x)的解析表达式
求详细解答过程，急，坐等！谢谢！

Answer 1

f(x)=x^2，楼上的，f(x0)=x0是说x0为不动点，你的f(x)=x ，处处为不动点，与题意矛盾。
解：令f(x)-x^2+x=t，显然有f(t)=t，进一步，由于t是由函数f(x)复合而来的，那么，必须当函数t满足f(t0)=t0时，才可以满足复合后的函数只有一个不动点的条件，解得：f(t0)=t0^2，也就是
f(x)=x^2。

Answer 2

根据题中“稳定点”的定义，稳定点是f(x)函数曲线上横坐标等于纵坐标的点，即f(x)函数曲线与直线y=x的交点。

而f(x)有且仅有一个稳定点，
所以：f(x)与y=x有且只有一个交点 ---------------结论①

对实数域(R)，都有f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x，
说明：f(x)-x^2+x对任意x∈R都恒等于一个实数 ---------------结论②

因此有：对任意p∈R，
当x=1/2+p时，f(x)-x^2+x=f(1/2+p)+1/4-p^2
当x=1/2-p时，f(x)-x^2+x=f(1/2-p)+1/4-p^2
于是有：对任意p∈R，f(1/2+p)=f(1/2-p)
所以：函数f(x)关于直线x=1/2对称 ---------------结论③

由结论①③可知 f(x)与y=x交于点(1/2, 1/2)
即：f(1/2)=1/2
再由结论②可知 f(x)-x^2+x=f(1/2)+1/4=3/4

所以：f(x)的表达式是：f(x)=x^2-x+3/4

Answer 3

很简单啊，f(x)=x