Question

四元四方程求解 求解该方程的过程，不会方法，求教学。

Answer 1

显然，λ不为0，x也不为0，否则容易得出：x＝y＝z＝0，导致原第4个方程不成立。
∵y＋2λx＝0，∴y＝－2λx，∴2y＝－4λx。
∵2y＋2λz＝0，∴2y＝－2λz，又2y＝－4λx，∴λz＝2λx，∴z＝2x。
将y＝－2λx、z＝2x代入原第2个方程中，得：x＋4x－4λ^2·x＝0，∴λ^2＝5/4，
∴λ＝√5/2，或λ＝－√5/2。
将y＝－2λx、z＝2x代入原第4个方程中，得：x^2＋4λ^2·x^2＋4x^2－10＝0，
又λ^2＝5/4，∴x^2＋5x^2＋4x^2－10＝0，∴x^2＝1，∴x＝1，或x＝－1。
由x＝1，得：y＝－√5或y＝√5，z＝2；
由x＝－1，得：y＝－√5或y＝√5，z＝－2。
于是，原方程组的解有4组，分别是：
①x＝1、y＝－√5、z＝2、λ＝√5/2；
②x＝1、y＝√5、z＝2、λ＝－√5/2；
③x＝－1、y＝－√5、z＝－2、λ＝√5/2；
④x＝－1、y＝√5、z＝－2、λ＝－√5/2。

追问

这么做漏解了，当λ＝0时，y＝0，x和z通过第二个方程和第四个方程求解，可以求出解的，哪来的显然之说，我已经找老师问到如何求解了，对于您的答复还是很感谢

这么做漏解了，当λ＝0时，y＝0，x和z通过第二个方程和第四个方程求解，可以求出解的，哪来的显然之说，我已经找老师问到如何求解了，对于您的答复还是很感谢

追答

是的，我没有考虑周全。补解：
当λ＝0时，由原第1个方程，得：y＝0。

这样，原第2、4个方程分别变成：x＋2z＝0、x^2＋z^2－10＝0，
进而可得：4z^2＋z^2＝10，∴z^2＝2，∴z＝√2，或z＝－√2。
当z＝√2时，x＝－2√2；当z＝－√2时，x＝2√2。

∴原方程组有解：
⑤x＝－2√2、y＝0、z＝√2、λ＝0；
⑥x＝2√2、y＝0、z＝－√2、λ＝0。
－－－－－
当x＝0时，由原第1个方程可得：y＝0，进而由第2个方程可得：z＝0。
而原第4个方程却不能成立，∴x不能为0。

Answer 2

这里重要的是化繁为简，降次消元
将第三个的y=-λz代入一二四
消元变成三元三次
然后继续消元成二元二次
而后解出二元后再返回代入得解