Question

1.若α，β是同一三角形的两个内角，cosβ=-1/3，cos（α+β）=(-4根号2)/9，求tanα的值.

2.在△ABC中，若cosA=3/5 cosB=12/13 试判断三角形的形状（过程）

Answer 1

1，由题易知：α，β∈(0，π)，
又cosβ=-1/3<0，cos(α+β)=(-4√2)/9<0，
所以β∈(π/2，π)，α+β∈(π/2，π)，
所以α∈(0，π/2)。
所以sinβ=2√2/3，tanβ=-2√2，
sin(α+β)=7/9，tan(α+β)=-7√2/8，
所以tanα=tan[(α+β)-β]=[tan(α+β)-tanβ]/[1+tan(α+β)tanβ]
=[-7√2/8+2√2]/[1+7√2/8*2√2]=√2/4。
2，因为cosA=3/5>0， cosB=12/13>0 ，
在△ABC中，所以A，B∈(0，π/2)，
所以sinA=4/5， sinB=5/13，
所以cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-[cosA*cosB-sinA*sinB]
=-[3/5*12/13-4/5*5/13]=-16/65<0 ，
所以C∈(π/2，π)，
所以△ABC是钝角三角形。

Answer 2

β在90到180°，α+β在90到180°，α肯定在0到90°
sin（α+β）=7/9, sinβ=（2根号2)/3，
cosα=cos[（α+β）-β]
=cos（α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ,
=(-4根号2)/9*（-1/3）+7/9*（2根号2)/3，
=（2根号2)/3，
sinα=1/3
tanα=根号2/4