Question

x处的二阶导等于零是拐点，那为什么会判断左右两边邻域二阶导异号呢，异号不就说明二阶导不存在吗，最后

x处的二阶导等于零是拐点，那为什么会判断左右两边邻域二阶导异号呢，异号不就说明二阶导不存在吗，最后同号的二阶导就变成不是拐点了

Answer 1

1.首先二阶导数为零的点并不意味是拐点，形象点来说拐点是指f（x）的凹凸性发生改变的点。如果左右两边不异号，该点并不改变凹凸性（你可以想象一下f’（x）=0，但左右两侧同号时也不为极值的图）
2.异号并不说明二阶导数不存在，二阶导数同样是一个函数，你不能说y=x在x=0左右两侧异号，就说x=0时y不存在。
3.拐点同样可以是二阶导数不存在但左右二阶导数异号的点，理解不了的话你可以想象二阶导数是一阶导数的导数，即把f’（x）视为原函数，把拐点理解为极值，这样就比较能接受了。同样你可以试着画一下图，拐点的凹凸性画图还是比较好理解的。

追问

谢谢(*°∀°)=3

Answer 2

cosx-1和-(x^2)/2是等价无穷小,即1-cosx和(x^2)/2为等阶无穷小还得说明x→0,否则x→∞,1-cosx与x^2/2就不能是等阶无穷小. 应该是当x→0,1-cosx～x^2/2, 其实这个的严格证明还得用泰勒公式,用泰勒公式将cosx在x0=0处展开得： cosx=1-x^2/2+x^4/4-x^6/6+...+(-1)^nx^2n/2n... 从而1-cosx=x^2/2-x^4/4+x^6/6+...+(-1)^nx^2n/2n... 故x^2/2是1-cosx的主部, 所以lim[(1-cosx)/(x^2/2)]=1（x→0）,由等价无穷小量的定义可知1-cosx与x^2/2为等价无穷小量,即cosx-1和-(x^2)/2是等价无穷小量.

Answer 3

可以用反证法啊，x0左右邻域内要么同号要么异号，显然同号不可能是拐点了，