Question

数列a1=1.a(n+1)=3an+2乘以3的n+1次方，求{an}的通项公式及前n项和

Answer 1

a(n+1)=3an+2x3^(n+1)
a1=1=3^0x[(1-1)x6+1]
a2=3x1+2x3^(1+1)=21=3x7=3^1x[(2-1)x6+1]
a3=3x21+2x3^(2+1)=117=9x13=3^2x[(3-1)x6+1]
a4=3x117+2x3^(3+1)=9*39+9*18=9*57=27*19=3^3x[(4-1)*6+1]
猜想an=3^(n-1)[6(n-1)+1]
验证：an(n+1)=3an+2x3^(n+1)=3^n[6(n-1)+1]+2*3^(n+1)
=3^n{[6(n-1)+1]+2*3}=3^[6n+1]正确
所以an=3^(n-1)[6(n-1)+1]=3^(n-1)[6n-5]=2n*3^n-5*3^(n-1)
s1=1
s2=22=2*3+4*3^2-...（后面那串是等比数列，先不理）
s3=139=2*3+4*3^2+6*3^3=2*3+1*3^2+1*3^3+2*3^4-...
s4=2*3+1*3^2+1*3^3+2*3^4+8*3^4=2*3+1*3^2+1*3^3+*3^4+3*3^5-...
s5=2*3+1*3^2+1*3^3+*3^4+1*3^5+4*3^6-...
猜想sn=3+（3+3^2+3^3+...+3^n）+(n-1)*3^(n+1)-5[1+3+3^2+...+3^(n-1)]
=3-(3^n-1)+(n-1)*3^(n+1)=4-3^n+(n-1)*3^(n+1)
验证s(n+1)（略？）

Answer 2

等号两边同除以3^(n+1)，
得a(n+1)/3^(n+1)=an/3^n+2
所以｛an/3^n｝是以1/3为首项，2为公差的等差数列，
an/3^n=1/3+2(n-1)
an=3^(n-1)+2(n-1)3^n

追答

=2n3^n-5*3^(n-1)

令Tn为数列｛n3^n｝的和，
则3Tn-Tn=(1*3^2+…+n3^(n+1))-(1*3^1+…+n3^n)
2Tn=n3^(n+1)-(1*3^1+…+1*3^n)
=n3^(n+1)-3(3^n-1)/2
所以Sn=n3^(n+1)-(3^(n+1)-3)/2-5(3^n-1)/2
=n3^(n+1)-4*3^n+4

=(3n-4)*3^n+4