Question

一道西方经济学的题目

若效用函数为U=X^rY，r〉0，则收入-消费曲线是一条直线。
PS：X^r 为X的r 次方 小妹实在是没搞明白，请写出详细的解题步骤，谢谢了！

Answer 1

收入消费曲线是指在两种商品的价格水平之比为常数的情况下，每一收入水平所对应的两种商品最佳购买组合点组成的轨迹。
X，Y分别是两个商品的消费量，效用函数U（X，Y）是消费这样一个消费束给消费者带来的效用，表达了消费者对这两种商品在不同消费量下的偏好。
U=X^rY 这个效用函数表达的无差异曲线是这样一张图中的一族双曲线
https://gss0.baidu.com/70cFfyinKgQFm2e88IuM_a/baike/pic/item/b94f65ec4ad97bc22f2e21f6.jpg
图中的负斜率直线是消费可能线，也就是在消费者收入与商品价格既定的条件下，消费者所能购买到的X、Y两种商品数量最大组合的线。
根据收入消费曲线的定义，这两种商品的比价关系不变，所以消费可能线一定是等斜率的平行直线。
随着消费者收入水平的变动，消费可能线会发生平行移动。每一条消费可能线均会与一条无差异曲线相切，其切点就是消费者的最佳消费点，也就是两种商品的最佳购买组合点，把这些点连接起来就形成商品的收入消费曲线。
需要证明的就是在效用函数为U=X^rY时，这些最佳消费点在同一条直线上。
也就是证明效用函数U=X^rY对应的无差异曲线族与消费可能线直线族的切点在同一条直线上。
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设两种商品的价格为Px,Py，购买数量为Qx,Qy
则消费可能线直线族的方程是 Px*Qx+Py*Qy=C
C是消费者可以用于购买商品的货币总量，随收入水平变化
效用函数为U=X^rY对应的无差异曲线族的方程是 Uq=Xq^r*Yq
选择合适的换算单位A，可以让C=A*Uq
在切点上，Qx=Xq，Qy=Yq
所以切点连线的方程是Px*Qx+Py*Qy=A*Qx^r*Qy
两边都除以Py*Qy，得到
(Px/Py)*(Qx/Qy)+1=A*Qx^r/Py
根据收入消费曲线的定义，这两种商品的比价关系不变，所以Px/Py=Np为常数
而切点上，Qx=Xq，Qy=Yq，Qx^r=Uq/Qy
Np*(Qx/Qy)+1=A*Uq/(Qy*Py)
Np*Qx+Qy=A*Uq/Py
所以收入-消费曲线是一条与两种商品比价关系和收入水平相关的直线
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我十几年不弄这个了，上面的公式推的肯定不对，不过大致过程就是这样，你再跟同学商量一下吧。