Question

已知一圆经过点A（2，-3）和B（-2，-5），且圆心C在直线l：x-2y-3=0 上。

求出关于直线x+y+1=0的对称圆方程。

Answer 1

l圆心在L上，可设已知圆心为（2a+3，a），到A，B距离相等（等于R），有 (2a+3-2)²+(a+3)²=(2a+3+2)²+(a+5)²，得a=-2，a2其=-1，即，已知圆圆心为(-1，-2)

关于 x+y+1对称，即两圆心连线与 x+y+1 垂直，斜率为1，方程为 y+2=1(x+1) 即 x-y-1=0
两线交点为（0，-1），对称，即中点，则对称圆圆心 0=(-1+x)/2，-1=（-2+y）/2 即（1，0）
另，发现A（2，-3）在对称直线x+y+1=0 上，所以A（2，-3）在对称圆上，则 R'²=(1-2)²+(0+3)²=10 所以，对称圆方程为 (x-1)²+y²=10

追问

😂因为对称圆，所以它们的半径是相等的，那个a点在对称直线上求半径的方法有点多余了吧。

追答

道理相通。
半径虽然相等，但是等于几呀？——这就是求半径的意义。

追问

明白了，谢谢

追答

好

Answer 2

因为圆心在直线 x-2y-3=0 上，
因此设圆心坐标为 C(2y+3，y)，
由 CA²=CB²=r² 得
(2y+3-2)²+(y+3)²=(2y+3+2)²+(y+5)²=r²，
解得 y=-2，C(-1，-2)，r²=10，
C 关于直线 x+y+1=0 的对称点为(1，0)，
所以，所求圆方程为(x-1)²+y²=10。

追问

......怎么知道对称点为(1，0)啊？

追答

x=-y-1，y=-x-1，代入计算

追问

x=-y-1，y=-x-1这个是怎么得来的呢？

Answer 3

点C在直线x-2y-3=0上，可以设为C(2y+3,y)，
圆半径r=|AC|=|BC|，
(2y+3-2)²+(y+3)²=(2y+3+2)²+(y+5)²，
4y²+4y+1+y²+6y+9=4y²+20y+25+y²+10y+25，
20y=-40，y=-2，x=2y+3=-1，
r²=10，
圆方程(x+1)²+(y+2)²=10，
点(-1,-2)关于直线x+y+1=0的对称点与(a,b),
[b-(-2)]/[a-(-1)]=1，且(-1+a)/2+(-2+b)/2+1=0，
a=1，b=0，对称圆心是(1,0)，
所以对称圆方程(x-1)²+y²=10

追问

怎么知道对称点为(3，2）？就这个不懂。

追答

点(-1,-2)关于直线x+y+1=0的对称点与(a,b),
两个对称点所在直线斜率，[b-(-2)]/[a-(-1)]=1，

中点在对称直线上，(-1+a)/2+(-2+b)/2+1=0，
a=1，b=0，对称圆心是(1,0)，

所以对称圆方程(x-1)²+y²=10

Answer 4

设圆心坐标为（x,y）
有圆的特点可知圆心到圆上任一点的距离为半径
所以
(x-2)^2+(y+3)^2=(x+2)^2+(y+5)^2
得到
8x+4y+16=0
与x-2y-3=0联立
可得圆心坐标为（-1,-2）
圆的方程为（x+1）^2+（y+2）^2=10