Question

函数连续性，习题求解

三个题目，求详细解答过程

Answer 1

3. lim<x→0->f(x) = lim<x→0->(1+x)sinx/[-x(x+1)(x+2)] = - 1/2,
lim<x→0+>f(x) = lim<x→0+>(1+x)sinx/[x(x+1)(x+2)] = 1/2.
x = 0 是 f(x) 的跳跃间断点。选 B。
4. 当 x∈(-∞, 0) 时，f(x) = lim<n→∞>[n^x-n^(-x)]/[n^x+n^(-x)]
= lim<n→∞>[n^(2x)-1]/[n^(2x)+1] = -1;
当 x∈(0, +∞) 时，f(x) = lim<n→∞>[n^x-n^(-x)]/[n^x+n^(-x)]
= lim<n→∞>[1-n^(-2x)]/[1+n^(-2x)] = 1.
x = 0 是间断点。选 D。
5. 选 D。 例如, 设 f(x) = sinx,
则 lim<x→0>[f(x)-f(-x)]/x = lim<x→0>[sinx-sin(-x)]/x
= lim<x→0>2sinx/x = 2, 存在，但 f'(0) = cos0 = 1.