Question

数学中“∀”和“∃”是什么意思？

Answer 1

∀ ：全称量词，即存在任意的意思
∃： 存在量词，即存在的意思

全称量词定义： 在数学语句中含有短语"所有"、"每一个"、"任何一个"、"任意一个""一切"等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词。 含有全称量词的命题叫作全称命题。全称量词的否定是存在量词。

注意
在某些全称命题中，有时全称量词可以省略。例如棱柱是多面体，它指的是“所有棱柱都是多面体”。
1、“对所有的”、“对任意一个”等词在逻辑中被称为全称量词，记作“∀”，含有全称量词的命题叫做全称命题。
对M中任意的x，有p(x)成立，记作"∀"x∈M，p(x)。
读作：每一个x属于M，使p（x）成立。
2、“存在一个”、“至少有一个”等词在逻辑中被称为存在量词，记作“∃”，含有存在量词的命题叫做特称命题。
M中至少存在一个x，使p(x)成立，记作"∃"x∈M，p(x)。
读作：读作：存在一个x属于M，使p（x）成立。
否定：
1、对于含有一个量词的全称命题p："∀"x∈M，p(x)的否定┐p是："∃"x∈M，┐p(x)。
2、对于含有一个量词的特称命题p："∃"x∈M，p(x)的否定┐p是："∀"x∈M，┐p(x)。

全称命题
全称命题：其公式为“所有S是P”。全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有智慧的。”由于代数定理使用的是全称量词，因此每个代数定理都是一个特强的条件。也正是全称量词使得使用带入规则进行恒等变换是代数推理的核心。

存在量词

定义：短语“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”等都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词。含有存在量词的命题叫作特称命题。特称命题 :其公式为“有的S是P”。特称命题使用存在量词，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性命题。短语“存在一个”、“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示。含有存在量词的命题，叫做特称命题（存在性命题）。
含有存在量词的命题，叫做特称命题（存在性命题）。
例如：
⑴有一个素数不是奇数；
⑵有的平行四边形是菱形。
常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”等。
特称命题“存在M中的一个x，使p（x）成立”。简记为：∃x ∈ M，p（x）
读作：存在一个x属于M，使p（x）成立。