Question

求∫e^xsin²xdx 要过程。

Answer 1

∫e^xsin²xdx= (1/2)e^x - (1/10)e^xcos2x - (1/5)e^xsin2x + C。C为积分常数。

解答过程如下：

∫ e^xsin²x dx

=(1/2)∫ e^x(1-cos2x) dx

=(1/2)e^x - (1/2)∫ e^xcos2x dx (1)

下面计算：

∫ e^xcos2x dx

=∫ cos2x d(e^x)

分部积分

=e^xcos2x + 2∫ e^xsin2x dx

=e^xcos2x + 2∫ sin2x d(e^x)

再分部积分

=e^xcos2x + 2e^xsin2x - 4∫ e^xcos2x dx

将 -4∫ e^xcos2x dx 移项与左边合并后除以系数

得：∫ e^xcos2x dx = (1/5)e^xcos2x + (2/5)e^xsin2x + C

将上式代入（1）得

∫ e^xsin²x dx = (1/2)e^x - (1/10)e^xcos2x - (1/5)e^xsin2x + C

扩展资料：

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c

Answer 2

∫ e^xsin²x dx
=(1/2)∫ e^x(1-cos2x) dx
=(1/2)e^x - (1/2)∫ e^xcos2x dx (1)

下面计算：
∫ e^xcos2x dx
=∫ cos2x d(e^x)
分部积分
=e^xcos2x + 2∫ e^xsin2x dx
=e^xcos2x + 2∫ sin2x d(e^x)
再分部积分
=e^xcos2x + 2e^xsin2x - 4∫ e^xcos2x dx
将 -4∫ e^xcos2x dx 移项与左边合并后除以系数
得：∫ e^xcos2x dx = (1/5)e^xcos2x + (2/5)e^xsin2x + C
将上式代入（1）得

∫ e^xsin²x dx = (1/2)e^x - (1/10)e^xcos2x - (1/5)e^xsin2x + C