Question

怎么利用取对数的方法求下列幂指函数的极限?

lim(e^x+x)^(1/x) lim [(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)

Answer 1

解：lim(x->0)[(e^x+x)^(1/x)]
=lim(x->0){e^[ln(e^x+x)/x]} (应用对数性质取对数)
=e^{lim(x->0)[ln(e^x+x)/x]} (应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->0)[(e^x+1)/(e^x+x)]} (0/0型极限，应用罗比达法则)
=e^[(1+1)/(1+0)]
=e^2
lim(x->0){[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)}
=lim(x->0){e^[(ln(a^x+b^x+c^x)-ln3)/x]} (应用对数性质取对数)
=e^{lim(x->0)[(ln(a^x+b^x+c^x)-ln3)/x]} (应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->0)[(a^xln│a│+b^xln│b│+c^xln│c│)/(a^x+b^x+c^x)]} (0/0型极限，应用罗比达法则)
=e^[(ln│a│+ln│b│+ln│c│)/(1+1+1)]}
=e^[ln│abc│/3]
=(abc)^(1/3)。

Answer 2

3]^(1/x]}
(应用对数性质取对数)
=e^{lim(x->0)[(ln(a^x+b^x+c^x)-ln3)/lim(x->0)[(e^x+x)^(1/x)]
=lim(x->0){e^[ln(e^x+x)/x]}
(应用对数性质取对数)
=e^{lim(x->,应用罗比达法则)
=e^[(ln│a│+ln│b│+ln│c│)/(a^x+b^x+c^x)]}
(0/0型极限;(1+0)]
=e^2
lim(x->0)[(a^xln│a│+b^xln│b│+c^xln│c│)/0){[(a^x+b^x+c^x)/(e^x+x)]}
(0/0型极限;0)[ln(e^x+x)/x]}
(应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->0)[(e^x+1)/(1+1+1)]}
=e^[ln│abc│/x]}
(应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->,应用罗比达法则)
=e^[(1+1)/x)}
=lim(x->3]
=(abc)^(1/0){e^[(ln(a^x+b^x+c^x)-ln3)/

Answer 3

lim(e^x+x)^(1/x) lim [(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)=lime ^xIn(1+1/x^2)=lime^lim1/x=1
In(1+1/x^2)~1/x^2

幂指函数既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。

作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。

幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。这种函数的推广，就是广义幂指函数。

Answer 4

• 因为lim ln(e^x+x）^(1/x)=limln(e^x+x）/x ,

  limln( e^x+x)~ln(1+x+x)=limln（1+2x）=2x，

  则limln(e^x+x）^(1/x)=2，则原式子=e^2

2.

因为 ln(sin1/x+cos1/x）^(x)=ln(sin1/x+cos1/x）/(1/x) 

x →∞, 则1/x→∞

则limln(sin1/x+cos1/x）=limln(sin1/x+1）=sin1/x

limln(sin1/x+cos1/x）^(x)=limsin1/x/(1/x)=1

则原式子=e

3, limln(cos2x）^(3/x^2)=lim3ln(1-2sin^2x)/x^2=lim3(-2sin^2x)/x^2

=-6lim(sinx)^2/x^2

=-6

则原式子=e^(-6)

lim(x->0)[(e^x+x)^(1/x)]
=lim(x->0){e^[ln(e^x+x)/x]} (应用对数性质取对数)
=e^{lim(x->0)[ln(e^x+x)/x]} (应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->0)[(e^x+1)/(e^x+x)]} (0/0型极限,应用罗比达法则)
=e^[(1+1)/(1+0)]
=e^2
lim(x->0){[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)}
=lim(x->0){e^[(ln(a^x+b^x+c^x)-ln3)/x]} (应用对数性质取对数)
=e^{lim(x->0)[(ln(a^x+b^x+c^x)-ln3)/x]} (应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->0)[(a^xln│a│+b^xln│b│+c^xln│c│)/(a^x+b^x+c^x)]} (0/0型极限,应用罗比达法则)
=e^[(ln│a│+ln│b│+ln│c│)/(1+1+1)]}
=e^[ln│abc│/3]
=(abc)^(1/3).

Answer 5

解：lim(x->0)[(e^x+x)^(1/x)]
=lim(x->0){e^[ln(e^x+x)/x]} (应用对数性质取对数)
=e^{lim(x->0)[ln(e^x+x)/x]} (应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->0)[(e^x+1)/(e^x+x)]} (0/0型极限，应用罗比达法则)
=e^[(1+1)/(1+0)]
=e^2
lim(x->0){[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)}
=lim(x->0){e^[(ln(a^x+b^x+c^x)-ln3)/x]} (应用对数性质取对数)
=e^{lim(x->0)[(ln(a^x+b^x+c^x)-ln3)/x]} (应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->0)[(a^xln│a│+b^xln│b│+c^xln│c│)/(a^x+b^x+c^x)]} (0/0型极限，应用罗比达法则)
=e^[(ln│a│+ln│b│+ln│c│)/(1+1+1)]}
=e^[ln│abc│/3]
=(abc)^(1/3)。