Question

高二椭圆双曲线

高二椭圆双曲线已知椭圆x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）的右焦点为f，短轴的一个端点为m，直线l：3x-4y=0交于椭圆E与AB两点。若｜AF｜+｜BF｜=4,点m到直线l的距离不小于4/5，则椭圆E的离心率取值范围是多少

Answer 1

如图所示，
设F′为椭圆的左焦点,连接AF′,BF′,则四边形AFBF′是平行四边形，
∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2.
取M(0,b),∵点M到直线l的距离不小于45，
∴|4b|32+42−−−−−√⩾45，解得b⩾1.
∴e=ca=1−b2a2−−−−−√⩽1−122−−−−−√=3√2.
∴椭圆E的离心率的取值范围是(0,3√2].
故答案为：(0,3√2].
范围是(0,3√2].

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Answer 2

M(0.b)
则M到直线l的距离d=|0-4b|/√(3²+4²)=4b/5≥4/5
b≥1
不妨设左焦点是G
则四边形AFBG中
原点O是FG的中点
而直线l过原点
所以A和B关于原点对称
即O也是AB的中点
由对交点互相平分
所以AFBG是平行四边形
所以AG=BF
所以2a=AG+AF
=AF+BF
=4
a=2
1≤b≤2
1≤b²≤4
所以1/4≤b²/a²≤1
而b²/a²=(a²-c²)/a²
=1-c²/a²
=1-e²
所以1/4≤1-e²≤1
0≤e²≤3/4
0≤e≤√3/2

Answer 3

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