Question

n阶行列式|1 1…1 -n| |1 1…-n 1|…|1 -n…1 1| |-n 1…1 1|

求详解

Answer 1

在第一行上加上第二行加上第三行。。。加上最后一行，此时新的第一行变为|-1,-1,...,-1|
然后从第二行开始每一行加上新第一行，此时得到的行列式为
|-1,-1,...,-1,-1|
|0,0,...,-n-1,0|
...
|-n-1,0,...,0,0|
这个行列式只需要计算反对角线的乘积即可
=(-1)^(n+1) * (-1) * (-n-1)^(n-1) （(-1)^(n+1)是反对角线的正负号）
=-(n+1)^(n-1)

Answer 2

将Di按第i行展开，然后求和。ΣDi=x1(A11+A12+…+An1)+x2(A12+A22+…An2)+…+(A1n+A2n+…Ann),Aij为aij的代数余子式，又A11+A12+…+An1可认为是令a11=a21=a31=…=1所得到的D的值(按a11,a21,a31…这一列展开)，为0 同理，A12+A22+…+An2=A(1,n-1)+A(2,n-1)+…+A(n,n-1)=0 括号内为A的下标所以ΣDi=A1n+A2n+…+Ann=D,所证成立。