Question

数列极限 等比数列 高三数学

Answer 1

设等比数列首项为a，公比为q
(1)
等比数列前n项和的公式为
S＝a(1-q^n)/(1-q)，
要使极限存在，必须满足|q|<1，此时极限L＝a/(1-q)。
(2)
要满足题目条件2，必须存在m,k∈Z，k>0,
满足：
a/(1-q)＝aq^m
±
aq^n
＝
q^m(1
±
q^k)
===>
q^m(1
±
q^k)(1-q)＝1
如果q>0，可以证明左侧始终<1，无解，因此q必须<0.
另外方程和首项a无关，因此将首项＝1进行考虑。
不妨设m=0,
可以证明：当k为>1的奇数时，方程
(1
+
q^k)(1-q)＝1在(-1,-1/2)必有一解。
(因为q=-1时，左边=0<1，q=-1/2时，左边>9/8>1)
比如设k=3,由方程(1
+
q^3)(1-q)＝1解得q≈－0.754877666247，
该数列通项为X(n)＝a*q^(n-1)，n=1,2,...,
a为任意不为0的常数。
该数列第1项和第4项之和为数列和的极限值。
补充：
当k为>0的偶数时，方程
(1
－
q^k)(1-q)＝1在(-1,-1/2)也是必有一解。
此时数列第1项和第k+1项之差也符合条件。
再扩展的话,m>0时也是可能有解的，不再讨论。

Answer 2

前n项和为Sn=a1(1-q^n)/(1-q),要有极限则q需要满足0<|q|<1，此时极限为S=a1/(1-q)
再假该和为ai，aj，不妨0

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