高中数学 求详细过程 感谢 10
（1）、如图所示，连接A1C，交AC1于点F，连接DF。
因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中四边形ACC1A1为矩形，AC1、A1C为对角线，
所以点F为A1C中点，又因为点D为BC中点，所以DF为△A1BC的中位线，
有A1B∥DF，而DF在平面ADC上，A1B不在平面ADC1上，所以A1B∥平面ADC1。
（2）、如图所示，过点C作CG⊥AD，垂足G在AD的延长线上，连接C1G。
因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中有CC1⊥平面ABC，AG在平面ABC上，
所以CC1⊥AG，又因为CG⊥AD，CC1、CG均在平面C1CG上且相交于点C，
所以AG⊥平面C1CG，C1G在平面C1CG上，所以AG⊥C1G，
则由CG⊥AD，AG⊥C1G，可知∠C1GC即为二面角C1-AD-C的平面角，
因为AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，所以△ABC为等腰直角三角形，
由点D为BC中点设BD=CD=CC1=a，则AB=BC=2a，AD=(√5)a，AC=(2√2)a，
因为∠ABC=∠CGD=90°，∠ADB=∠CDG，所以△ABD∽△CGD，
有AD/CD=AB/CG，即[(√5)a]/a=2a/CG，算得CG=(2√5)a/5，则DG=(√5)a/5，
可知AG=AD+DG=(6√5)a/5，而在直角△ACC1中算得AC1=3a，
所以在直角△AGC1中可算得C1G=(3√5)a/5，
所以cos∠C1GC=CG/C1G=[(2√5)a/5]/[(3√5)a/5]=2/3，
即二面角C1-AD-C的余弦值为2/3。
（3）、点E存在，此时点E为A1B1中点。
如图所示，补全直三棱柱ABC-A1B1C1为长方体ABCI-A1B1C1H，
分别取A1B1、A1H的中点E、J，连接AE、AJ、EJ。
因为在长方体ABCI-A1B1C1H中点D、J分别为BC、A1H的中点，
易知DC1∥AJ，所以∠EAJ即为AE与DC1所成角的平面角，
因为题（2）已证底面△ABC为等腰直角三角形，
所以长方体ABCI-A1B1C1H的上下底面为正方形，有A1B1=A1H=2AA1，
则可知AA1=A1E=A1J，△AA1E、△AA1J、△A1EJ互为全等的等腰直角三角形，
有AE=AJ=EJ，所以△AEJ为等边三角形，可知∠EAJ=60°，即AE与DC1成60°角，
所以存在点E使AE与DC1成60°角，此时点E为A1B1的中点。
