Question

设A、B均为n阶方阵，且B=B2，A=E+B，证明A可逆，并求其逆．

设A、B均为n阶方阵，且B=B2，A=E+B，证明A可逆，并求其逆 线性代数．

Answer 1

要证明A可逆，即证明E+B乘以某个矩阵等于E，为了用上B=B2，因此乘的那个矩阵要含有B，当然也要含有E。

证明：由于（B+E）（B-2E）=B2+B-2B-2E，又B=B2，

故（B+E）（B-2E）=-2E

这样(B+E)

B−2E/−2

＝E，于是A可逆

且A−1＝

B−2E/−2

＝2E−B/2

扩展资料

矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。

初等变换法：对(A,E)作初等变换，将A化为单位阵E，单位矩阵E就化为A^-1。

设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。

Answer 2

证明：由于（B+E）（B-2E）=B2+B-2B-2E，又B=B2，
故（B+E）（B-2E）=-2E
这样(B+E)（B−2E）/2＝E，于是A可逆，且A逆＝（B−2E）/2＝（2E−B）/2

Answer 3

设A、B均为n阶方阵，且B=B2，A=E+B，证明A可逆，并求其逆．