Question

求方程y'=1/(3x+2y)的通解，请写出详细过程，帮帮忙

Answer 1

dx/dy=3x+2y
dx/dy-3x=2y
套一阶线性微分方程的公式（P(y)=-3，Q(y)=2y）
x=e^∫3dy*[C+∫2y*e^∫-3dy*dy]
=e^(3y)*[C+∫2ye^(-3y)dy]
=e^(3y)*[C-2/3*∫ye^(-3y)d(-3y)]
=e^(3y)*[C-2/3*ye^(-3y)+2/3*∫e^(-3y)dy]
=e^(3y)*[C-2/3*ye^(-3y)-2/9*∫e^(-3y)d(-3y)]
=e^(3y)*[C-2/3*ye^(-3y)-2/9*e^(-3y)]
=Ce^(3y)-2/3*y-2/9
检验：dx/dy=3Ce^(3y)-2/3
-3x=-3Ce^(3y)+2y+2/3
相加，左边=dx/dy-3x，右边=2y，结果正确

Answer 2

特征方程为r^2+1=0,r=±i 所以y1=C1sinx+C2cosx 设y2=Axcosx 则y2'=Acosx-Axsinx y2''=-Asinx-Asinx-Axcosx=-2Asinx-Axcosx 所以-2Asinx-Axcosx+Axcosx=4sinx A=-2 所以y=y1+y2=C1sinx+C2cosx-2xcosx