Question

模拟方法简介

Answer 1

4.4.1.1 FLAC^3D的基本原理

数值计算一直是工程地质学分析方法中的一个重要手段，特别是近年来，随着计算机技术和数值计算方法的迅速发展，从二维到三维，从静态到动态，计算精度、可靠度不断提高，加之大量工程实例的验证，使数值模拟计算方法已日益成为岩体稳定评价中不可或缺的重要方法之一。本研究利用国际工程地质界公认的最新通用软件FLAC^3D2.0作为工具，对典型岩溶塌陷类型的工程环境效应进行评价。

FLAC^3D分析在求解中使用如下3种计算方法：

（1）离散模型方法，连续介质被离散为若干六面体单元，作用力均被集中在节点上。

（2）有限差分方法，变量关于空间和时间的一阶导数均用有限差分来近似表达。

（3）动态松弛方法，由质点运动方程求解，通过阻尼使系统运动方程衰减至平衡状态。

4.4.1.1.1 空间导数的有限差分

快速拉格朗日分析采用混合离散方法，将区域离散为常应变六面体单元的集合体，又将每个六面体看作以六面体角点为角点的常应变四面体的集合体，应力、应变、节点不平衡力等变量均在四面体上进行计算，六面体单元的应力应变取值为其内四面体的体积加权平均，这种方法既避免了常应变六面体单元常会遇到的位移剪切锁死现象，又使得四面体单元的位移模式可以充分适应一些本构的要求，如一四面体，节点编号为1到4，第n面表示与节点n相对的面，设其内一点的速率分量为υ_i，由高斯公式得

岩溶塌陷机理及其预测与评价研究

式中：V为四面体的体积；S为四面体的外表面；n_j为外表面的单位法向向量分量。对于常应变单元，υ_i为线性分布，n_j在每个面上为常量，由式（4-1）可得：

岩溶塌陷机理及其预测与评价研究

式中：上标l表示节点l的变量；上标（l）表示面l的变量。

4.4.1.1.2 运动方程

快速拉格朗日分析以节点为计算对象，在时域内求解，节点运动方程可表示如下：

岩溶塌陷机理及其预测与评价研究

式中

（t）为在t时刻l节点在i方向的不平衡力分量，可由虚功原理导出；m^l为l节点的集中质量。对于静态问题，采用虚拟质量以保证数值稳定，而对于动态问题则采用实际的集中质量。

将上式左端用中心差分来近似，则可得：

岩溶塌陷机理及其预测与评价研究

4.4.1.1.3 应变、应力及节点不平衡力

快速拉格朗日分析由速率来求某一时步的单元应变增量，即

岩溶塌陷机理及其预测与评价研究

有了应变增量，即可由本构方程求出应力增量，进而得到总应力。

4.4.1.1.4 阻尼力

对于静态问题，在式（4-3）的不平衡力中加入了非粘性阻尼，以使系统的振动逐渐衰减直至达到平衡状态（即不平衡力接近零），此时式（4-3）变为：

岩溶塌陷机理及其预测与评价研究

阻尼为：

岩溶塌陷机理及其预测与评价研究

式中：α为阻尼系数，其默认值为0.8；而符号函数

岩溶塌陷机理及其预测与评价研究

4.4.1.1.5 计算循环

由以上可以看出快速拉格朗日分析的计算循环如图4-2所示。

图4-2 FLAC^3D软件计算循环图

4.4.1.2 FLAC^3D的功能和应用范围

尽管FLAC^3D的计算公式源于有限差分方法，但其计算结果与有限元方法的计算结果（对于常应变四面体）相同，而且它与现行的数值方法相比有着明显的优点（黄润秋等，1991、1995、1999a、1999b），其特点包括：

（1）“混合离散化”（mixed discretization）技术的应用，更能精确和有效地模拟计算材料的塑性破坏和塑性流动，在力学上比常规有限元的数值积分更为合理。

（2）全部使用动力运动方程，即使在模拟静态问题时也如此。因此，它可以较好地模拟系统的力学不平衡到平衡的全过程，实现动态的模拟过程。

（3）求解中采用“显式”差分方法大大节约了计算时间，特别对求解任意的非线性应力-应变问题尤为重要。同时它不需要存储较大的刚度矩阵，因此，它与一般的差分分析方法相比，既节约了计算机的内存空间又减少了运算时间，大大提高了解决问题的速度。

（4）物体由多面体单元所表示，可以通过调整三维网格的方法，以适应研究体真实的形状，每个单元力学行为是对应力-应变法则和边界力、约束条件的响应。材料能产生屈服和流动，而且网格也能变形（in large-strain mode），并随材料移动。

（5）强大的后处理功能。能根据需要输出设定阶段的应力应变成果，提取各工程部位的应力、应变的量值，同时还可以根据追踪功能（history）获取所需变量值的历时变化曲线。

研究中使用的FLAC^3D所使用的模型主要包括近10种模型，常用的有以下几种：

（1）空模型（null）。用空材料来表示开挖后的材料，在空单元中的应力被自动地赋零。

即：

岩溶塌陷机理及其预测与评价研究

用此种模型模拟实际中的洞穴。

（2）弹性均质模型（elastic，isotropic）。在FLAC^3D中，对于基岩主要采取了这种模型，而对于非均质的介质再根据其不均匀情况进行特殊的定义。在这种模型中，据虎克（Hooke）定律，有：

Δσ_ij=2GΔε_ij+α₂Δε_kkδ_ij

在此Einstein求和中，δ_ij为位移，α₂为与材料的体积模量及剪切模量相关的材料系数：

岩溶塌陷机理及其预测与评价研究

新的应力值通过下式获得：

岩溶塌陷机理及其预测与评价研究

（3）弹性非均质模型（elastic，orthotropic），主要用于非均质情况的模拟。

（4）Drucker-Prager塑性模型。在FLAC^3D中此模型使用的破坏准则主要为Drucker-Prager拉张破坏准则，用以评价计算中的塑性破坏现象。

（5）摩尔-库仑模型（Mohr-Coulomnb）。在整个数值模拟过程中，对于土层、砂土、粉土等均采用了摩尔-库仑模型作为计算模型，即将其视为弹塑性材料来解决。在此模型中，以Mohr-Coulomnb准则作为材料的破坏准则。