Question

导线测量的内业计算

Answer 1

内业计算的目的，就是根据已知的起算数据和外业的观测成果，推算各导线点的平面坐标x，y。

准备知识如下。

1.取位要求

1）一、二、三级导线：角度取至秒，边长、坐标取至mm；

2）图根控制：角度取至秒，边长、坐标取至cm。

2.坐标正反算

（1）坐标正算

如图6-4所示，已知A点坐标X_A，Y_A以及A至B的水平距离和坐标方位角S_AB，α_AB，求B点的坐标X_B，Y_B称为坐标正算。

坐标增量的概念：坐标增量是两点坐标的差。

ΔX_AB=X_B-X_A=S_AB×cosα_AB

ΔY_AB=Y_B-Y_A=S_AB×sinα_AB

则有：X_B=X_A+ΔX_AB

Y_B=Y_A+ΔY_AB

（2）坐标反算

图6-4 坐标正反算

如图6-4所示，已知A、B两点坐标X_A，Y_A；X_B，Y_B，求A至B的水平距离S_AB和坐标方位角α_AB称为坐标反算。即

建筑工程测量

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注意：坐标方位角α_AB要根据坐标增量的符号来确定。

【例6-1】已知X_A=1874.43m，Y_A=43579.64m，X_B=1666.52m，Y_B=43667.85m，求S_AB、α_AB。

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α_αb在Ⅱ象限，根据第四章表4-2坐标方位角与象限角的关系，得

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注意：如果是在计算器中计算，计算器首先显示的是十进制的角度，一般要把它化成习惯中的六十进制。

3.坐标方位角的推算

（1）已知边与未知边起点相同

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α_未知=α_已知±β（±360°）

如图6-5a，已知α_OA和转折角β，求α_OB

α_OB=α_OA+β（-360°）

若已知α_OB，求α_OA，则有

α_OA=α_OB-β（+360°）

归纳为

转折角β前符号的确定：由α_已知按顺（逆）时针方向经过β到达α_未知时取“+（-）”。

顺时针的β角在A—O—B的左侧，而逆时针的β角在A—O—B的右侧。故习惯上称为“左加右减”。

如果加上转折角后，其数值大于360°，则要减去360°；如果减去转折角后，其数值小于0°，则要加上360°。

【例6-2】已知α_OA=50°，左转折角β₁=20°，β₂=340°，求α_OB

α_OB1=α_OA+β₁=50°+20°=70°

α_OB2=α_OA+β₂=50°+340°=390°-360°=30°

【例6-3】已知α_OA=30°，右转折角β₁=20°，β₂=80°，求α_OB

α_OB1=α_OA-β₁=30°-20°=10°

α_OB2=α_OA-β₂=30°-80°=-50°+360°=310°

（2）已知边终点为未知边起点

图6-5b 已知边终点为未知边起点坐标方位角推算

已知α_P1P2，β求α_P2P3

要应用前面的推导结果，首先要把方位角下标转换成起点相同的情况。因为

α_P2P1=α_P1P2±180°（正反方位角）

则α_P2P3=α_P2P1+β=α_P1P2+β±180°

180°前的正负号的确定：

若（α_P1P2+β）＞180°，取“-”号；若（α_P1P2+β）＜180°，取“+”号。

【例6-4】已知α_P1P2=120°，左转折角β₁=140°，β₂=50°，β₃=300°，求α_P2P3

1）α_P2P3=α_P1P2+β₁±180°=120°+140°±180°=260°-180°=80°

2）α_P2P3=α_P1P2+β₂±180°=120°+50°±180°=170°+180°=350°

3）α_P2P3=α_P1P2+β₃±180°=120°+300°±180°=（420°-360°）±180°=60°+180°=240°

【例6-5】已知α_P1P2=120°，右转折角β₁=140°，β₂=50°，β₃=260°，求α_P2P3

1）α_P2P3=α_P1P2-β₁±180°=120°-140°±180°=（-20°+360°）±180°=340°-180°=160°

2）α_P2P3=α_P1P2-β₂±180°=120°-50°±180°=70°+180°=250°

3）α_P2P3=α_P1P2-β₃±180°=120-260°±180°=（-140°+360°）±180°=220°-180°=40°

如果转折角为右角，与上面一样，β前面取“-”号。

一、闭合导线坐标计算

计算前必须按技术要求对外业的观测成果进行全面的检查和核算，然后将观测角度的起始方位角、边长和起始点坐标分别填入表6-3的第2，5，6，11，12栏，并绘出导线草图，按导线计算的程序在表内进行坐标计算。下面结合实例介绍闭合导线的计算方法。

1.角度闭合差的计算与调整

由平面几何学可知，n边形内角和的理论值应为（n-2）×180°，由于观测值带有误差，使得内角和的计算值与理论值不符，其差值称为角度闭合差，以f_β表示，即

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各级导线角度闭合差的容许值Δ_容，可参照表6-2中的“方位角闭合差”栏的规定。如图根导线，

。若f_β超过容许值的范围，则应重新检查外业的角度观测值，直至达到要求为止。若f_β在容许值范围内，即可进行角度闭合差的调整，将f_β以相反的符号平均分配到各观测角中去，即各角的改正数为

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计算时，可先将-f_β平均分配至它原有的凑整单位1′，0.1′，10″或1″，然后把多余的量或不足的量再分配：把多余的量加在短边两邻角的改正数上使之多分配一点，把不足量从长边两邻角的改正数中扣除。

表6-3为一四边形图根导线的计算实例。例中f_β=-1′，因取位至0.1′，故每角平均分配为+0.2′，四个角共+0.8′，余+0.2′。因1～2边最短，两邻角∠1，∠2 再分配得余数各+0.1′，故它们的改正数为+0.3′，其余两个角为+0.2′。分配时改正数写在第3栏的相应位置，其总和等于反号的角度闭合差。第2栏加第3栏相应的数，得改正后的角度值，写在第4栏的相应位置。将第4栏改正后角值取总和，应为四边形内角和的理论值360°，否则表示计算有错，应立即更正。

表6-3 闭合导线坐标计算表

2.导线各边坐标方位角的计算

根据导线草图、导线点为顺时针编号，观测的内角为右角，起始坐标方位角α₁₂=40°48′.0，导线各边坐标方位角的计算如下

α₂₃=40°48′.0-89°34′.1+180°=131°13′.9

α₃₄=131°13′.9-73°00′.4+180°=238°13′.5

α₄₁=238°13′.5-107°48′.7+180°=310°24′.8

α₁₂=310°24′.8-89°36′.8-180°=40°48′.0（校核无误）

各边方位角的计算值填入表中第5栏。

3.坐标增量的计算

已知1点（起点）的坐标x₁，y₁，边长D₁₂，方位角α₁₂，求1～2边的坐标增量ΔX₁₂，ΔY₁₂

Δx₁₂=D₁₂cosα₁₂，Δy₁₂=D₁₂sinα₁₂ （6-3）

同理2～3边的坐标增量ΔX₂₃，ΔY₂₃

Δx₂₃=D₂₃cosα₂₃，Δy₂₃=D₂₃sinα₂₃

其余类推。

把计算的坐标增量填入表中第7、8栏。

4.增量闭合差的计算与调整

如图6-6，闭合导线各边的增量Δx或Δy，其总和的理论值应等于零，即

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图6-6 坐标闭合差计算与调整

由于量边误差和角度改正的残余误差，往往使∑Δx_测，∑Δx_测与理论值不符，其不符值称为坐标增量闭合差，以f_x与f_y表示。

则

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这表明，实际计算出的闭合导线坐标并不闭合，存在一个f（如图6-6（b）所示），称为导线全长闭合差。f_x与f_y是它的两个分量，则

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f值与导线长短有关，因此，通常用全长相对闭合差k来衡量导线测量的精度，即

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式中：∑D——导线全长，即表中第6栏的总和。

k的分母越大，说明精度越高。不同等级的导线相对闭合差的容许值已列入表6-2。若k值超过容许值，首先应检查全部计算，再复查外业观测资料，直至去现场检测边长、检测角值，直到解决问题时为止；若是k值在容许范围内，则应将f_x与f_y分别以相反的符号，按与边长成正比例分配到各增量中去。各增量改正数应为

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按增量取位的要求，改正数应凑整至cm或mm。凑整后的改正数总和必须与反号的增量闭合差相等。改正数填写在相应边各坐标增量计算值尾数的上方，然后计算改正后的坐标增量，并把它写在表6-3中9，10栏。改正后的坐标增量的总和∑Δ_x，∑Δ_y应分别等于零，可在最后的总和栏进行校核，否则表示计算有错。

5.坐标计算

根据起始点的已知坐标和改正后的坐标增量，按下式依次计算各导线点的坐标（填入表6-3中11，12栏）。

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如果导线未与高级导线点连接，则起点坐标可以自行假定，但应该使推算出的各点坐标不会出现负值为宜。

二、附合导线坐标计算

附合导线的坐标计算与闭合导线基本相同，由于附合导线两端与已知点相连，因此在角度闭合差和增量闭合差的计算上都有些不同。下面着重介绍这两项计算方法。

1.坐标反算

如图6-7所示，A，B，C，D为已知点，为了获得AB边和CD边的坐标方位角，要根据已知点的坐标进行坐标反算，求得α_AB和α_CD。

图6-7 坐标反算

2.角度闭合差的计算

以图6-8所示的附合导线为例，介绍与闭合导线计算中的不同部分。

图6-8 附合导线坐标计算

附合导线并不构成闭合多边形，但也存在有角度闭合差。其角度闭合差是根据导线两端已知边的坐标方位角及导线转折角来计算的。图6-8中，高级点A，B，C，D的坐标已知，按坐标反算公式可计算得起始边与终止边的坐标方位角α_AB和α_CD。本例所观测的导线转折角为左角。

由起始边坐标方位角及导线左角，根据坐标方位角推算公式可依次推算各边的坐标方位角如下：

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写成一般公式为

α′_终=α_始±n×180°+∑β_测 （6-10）

式中：n——附合导线转折角的个数（包括连接角）。

若观测右角，则按下式计算α′_终：

α′_终=α_始±n×180°-∑β_测 （6-11）

终止边的坐标方位角α_终是已知的，由于角度观测中不可避免地存在有误差，使得α′_终不等于α_终，其差值即为角度闭合差f_e，即

f_β=α′_终-α_终 （6-12）

角度闭合差的容许值与闭合导线相同。

当角度闭合差f_β在容许的范围内，若观测的是左角，则将角度闭合差按相反符号平均分配到各左角上；若观测的是右角，将角度闭合差按相同符号平均分配到各右角上。

3.坐标增量闭合差的计算

从理论上说，附合导线各边坐标增量的代数和，应该等于终点和始点已知坐标值之差，即

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然而，由于量边误差和角度闭合差调整后的残余误差，使得实际计算所得的∑Δx_测、∑Δy_测不能满足以上的关系，其差值就是坐标增量闭合差，即

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附合导线的导线全长闭合差、全长相对闭合差的计算以及坐标增量闭合差的调整与闭合导线相同。附合导线坐标计算的全过程，见表6-4的算例。

4.支导线坐标计算

由于支导线没有多余观测值，不会产生任何闭合差，因此导线的转折角和坐标增量不需要进行改正。支导线的计算步骤如下：

1）根据观测的转折角推算各边的坐标方位角；

2）根据各边的边长和坐标方位角计算各边的坐标增量；

3）根据各边的坐标增量推算各点的坐标。

三、查找导线测量错误的方法

在导线计算中，若发现闭合差超限，首先应检查外业记录和内业计算。若检查无误，则说明导线外业中边长或角度测量存在错误，应到现场返工重测。为减少重测工作量，事前应对可能发生错误的角或边进行分析，以下介绍查找错误的方法。

1.一个角度测错的查找方法

图6-9中，设导线点3处的角度测错了，若从1点（或B点）出发按正方向1—2—3—4—5—1（或B—1—2—3—4—C）计算各导线点坐标，则3点前的坐标是正确的，而4′，5′，1′（或4′，C′）点的坐标不正确。再从1点（或C点）出发按反方向1—5—4—3—2—1或（C—4—3—2—1—B）计算各导线点坐标，则5，4，3点（或4，3点）的坐标是正确的，而2′，1′（或2′，1′，B′）点的坐标不正确。可见，当从正反两个方向计算各导线点坐标时，若某点的两套坐标值相等或相近，则该点可能就是测错角度的导线点。

表6-4 附合导线的计算

图6-9 导线测角错误的检查

2.一条边长测错的查找方法

当角度闭合差在容许范围内而导线相对闭合差大大超限说明边长测量有错误。图6-10中，设2—3边存在错误ΔD，使3点移至3′点，由于其他各边和各角没有发生错误，则3点以后的各点也都分别移到4′，5′，1′（或4′，C′）点处。移动的量和方向与3—3′相同。由此可见，闭合差1—1′（或C—C′）的坐标方位角与测错的那条边（2—3边）的坐标方位角很接近，或相差近180°。故查找时，先按下式计算闭合差的坐标方位角：

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然后与各边方位角相比较，如果某一条导线边的坐标方位角与α_f很接近，或相差近180°，则该导线边长最有可能测错。

图6-10 导线测边错误的检查