已知椭圆C:X^2/4+Y^2/3=1和直线L:Y=4X+M,试确定实数M的取值范围,使椭圆上恒有不同的两点关于直线L对称
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设椭圆上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)
关于直线y=4x+m对称，
AB中点为M(x0,y0)。则
3x1^2+4y1^2=12
3x2^2+4y2^2=12
相减得到：3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0
由于M是AB的中点，所以x1+x2=2x0,y1+y2=2y0
既6x0(x1-x2)+8y0(y1-y2)=0
则k=y1-y2/x1-x2=-3x0/4y0=-1/4.
y0=3x0.代入直线方程y=4x+m
得x0=-m,y0=-3m
因为(x0,y0)在椭圆内部。则3m^2+4(-3m)^2<12
解得
-2√13/13<m<2√13/13
关于直线y=4x+m对称，
AB中点为M(x0,y0)。则
3x1^2+4y1^2=12
3x2^2+4y2^2=12
相减得到：3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0
由于M是AB的中点，所以x1+x2=2x0,y1+y2=2y0
既6x0(x1-x2)+8y0(y1-y2)=0
则k=y1-y2/x1-x2=-3x0/4y0=-1/4.
y0=3x0.代入直线方程y=4x+m
得x0=-m,y0=-3m
因为(x0,y0)在椭圆内部。则3m^2+4(-3m)^2<12
解得
-2√13/13<m<2√13/13
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