Question

定积分的几何应用，求下列平面图形分别绕x, y 轴的 体积

第三题，2 3 4小题。方便的话可以画个草图，越详细越好，我怕看不懂。有个疑问怎么确定绕y 轴时的上限和下限？

Answer 1

解：见下图。设绕x轴旋转所得的体积为Vx，绕y轴旋转所得的体积为Vy。

2、Vx=π∫(0,2)y^2dx=π∫(0,2)x^6dx=(π/7)x^7](0,2)=128π/7;

Vy=2π∫(0,2)xydx=2π∫(0,2)x^4dx=(2π/5)x^5](0,2)=64π/5。

3、Vx=2π∫(1,2)yxdy=2π∫(1,2)y^3dy=(2π/4)y^4](1,2)=(π/2)(2^4-1)=15π/2;

Vy=π∫(1,2)x^2dy=π∫(1,2)y^4dy=(π/5)y^5](1,2)=63π/5。

4、Vx=2π∫(1/2,3)2ydy-2π∫(1/2,3)yxdy=2π∫(1/2,3)2ydy-2π∫(1/2,3)dy

=2π[y^2-y](1/2,3)=2π{[(3^2-(1/2)^2]-(3-1/2)}=2π(6+1/4)=23π/2;

Vy=π∫(1/2,3)2^2dy-π∫(1/2,3)x^2dy=4π∫(1/2,3)dy-π∫(1/2,3)(1/y)^2dy

=4πy](1/2,3)+π(1/y)](1/2,3)=4π(3-1/2)+π(1/3-2)=19π/3。