Question

定积分的几何应用，求下列平面图形分别绕x, y 轴的 体积

第三题，2 3 4小题。方便的话可以画个草图，越详细越好，我怕看不懂。有个疑问怎么确定绕y 轴时的上限和下限？

Answer 1

都一样的做法，我给你作第3个吧。

(3)。求由曲线 y=√x，直线x=1，x=4，及y=0所围图形绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积

追问

老师答得好，就是v x =15/2算错了。还有一个问题就是Vy 为什么不用y 轴上的区间来确定上限和下限？

追答

因为积分元dv是以x为半径，高度为√x，厚度为dx的薄壁园筒，

其微体积dv=2πx(√x)dx=2π[x^(3/2)]dx，积分变量是x，故

上下限是x的取值区间。

想用y轴上的取值区间，也可以，但算式完全不一样，且很麻烦。

此时的计算方法如下：

其中π(4²-1²)×1是由y=1作水平线，由y=1，y=0，x=1，x=4围成的矩形截面

绕y轴旋转一周所成的园饼的体积。

Answer 2

解：见下图。设绕x轴旋转所得的体积为Vx，绕y轴旋转所得的体积为Vy。

2、Vx=π∫(0,2)y^2dx=π∫(0,2)x^6dx=(π/7)x^7](0,2)=128π/7;

Vy=2π∫(0,2)xydx=2π∫(0,2)x^4dx=(2π/5)x^5](0,2)=64π/5。

3、Vx=2π∫(1,2)yxdy=2π∫(1,2)y^3dy=(2π/4)y^4](1,2)=(π/2)(2^4-1)=15π/2;

Vy=π∫(1,2)x^2dy=π∫(1,2)y^4dy=(π/5)y^5](1,2)=63π/5。

4、Vx=2π∫(1/2,3)2ydy-2π∫(1/2,3)yxdy=2π∫(1/2,3)2ydy-2π∫(1/2,3)dy

=2π[y^2-y](1/2,3)=2π{[(3^2-(1/2)^2]-(3-1/2)}=2π(6+1/4)=23π/2;

Vy=π∫(1/2,3)2^2dy-π∫(1/2,3)x^2dy=4π∫(1/2,3)dy-π∫(1/2,3)(1/y)^2dy

=4πy](1/2,3)+π(1/y)](1/2,3)=4π(3-1/2)+π(1/3-2)=19π/3。