求下图中第3.4题解题过程及答案
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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三。设x→1lim[f'(x)/(x-1)³]=1，讨论x=1否是f(x)的极值点；
解：因为x→1时分母(x-1)³=0，而分式的极限存在，故其分子f'(x)=0;
【若f'(1)≠0，则极限不存在。】
∴x=1是f(x)的驻点；又x<1时f'(x)<0；x>1时f'(x)>0；故x=1是f(x)的极小点。
四。y=9-x²；(xo，yo)是该曲线上位于第一象限的点；
y'=-2x；故y'(xo)=-2xo；那么过(xo，yo)的切线方程为：
y=-2xo(x-xo)+yo=-2xox+2xo²+yo
令x=0得该切线在y轴上的截距y₁=2xo²+yo=2xo²+9-xo²=xo²+9
令y=0,得切线在x轴上的截距x₁=(2xo²+yo)/2xo=(2xo²+9-xo²)/2xo=(xo²+9)/2xo;
故由切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S:
S=(1/2)(xo²+9)²/2xo=(1/4)[(xo²+9)²/xo]=(1/4)[(xo^4+18xo²+81)/xo]
=(1/4)[xo³+18xo+(81/xo)]；
令dS/dxo=(1/4)[3xo²+18-(81/xo²)]=0
得3xo^4+18xo²-81=(3xo²+27)(xo²-3)=0，得极小点xo=√3；
∴minS=S(√3)=(1/4)[3√3+18√3+81/√3]=(1/4)[21√3+(81/√3)]=12√3;
解：因为x→1时分母(x-1)³=0，而分式的极限存在，故其分子f'(x)=0;
【若f'(1)≠0，则极限不存在。】
∴x=1是f(x)的驻点；又x<1时f'(x)<0；x>1时f'(x)>0；故x=1是f(x)的极小点。
四。y=9-x²；(xo，yo)是该曲线上位于第一象限的点；
y'=-2x；故y'(xo)=-2xo；那么过(xo，yo)的切线方程为：
y=-2xo(x-xo)+yo=-2xox+2xo²+yo
令x=0得该切线在y轴上的截距y₁=2xo²+yo=2xo²+9-xo²=xo²+9
令y=0,得切线在x轴上的截距x₁=(2xo²+yo)/2xo=(2xo²+9-xo²)/2xo=(xo²+9)/2xo;
故由切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S:
S=(1/2)(xo²+9)²/2xo=(1/4)[(xo²+9)²/xo]=(1/4)[(xo^4+18xo²+81)/xo]
=(1/4)[xo³+18xo+(81/xo)]；
令dS/dxo=(1/4)[3xo²+18-(81/xo²)]=0
得3xo^4+18xo²-81=(3xo²+27)(xo²-3)=0，得极小点xo=√3；
∴minS=S(√3)=(1/4)[3√3+18√3+81/√3]=(1/4)[21√3+(81/√3)]=12√3;
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