Question

求二阶常系数非齐次线性微分y″＋a²y＝sinx的通解

Answer 1

y''+a²y=0的特征方程为r²+a²=0
得r=±ai
(1)a≠±1时，
y''+a²y=0的通解为y=C1 cosax+C2 sinax
因为i不是特征根，故设特解为y*=m sinx+n cosx
则y*'=m cosx-n sinx，y*''=-m sinx-n cosx
代入原方程y''+a²y=sinx得
m(a²-1)sinx+n(a²-1)cosx=sinx
得m=1/(a²-1)，n=0
故特解为y*=sinx /(a²-1)
故原方程的通解为y=C1 cosax+C2 sinax +sinx /(a²-1)
(2)a=±1时，原方程为y''+y=sinx，
特征根为r=±i
y''+y=0的通解为y=C1 sinx+C2 cosx
因为i是特征根，故设特解为y*=x(Acosx+Bsinx)
则y*'=A cosx+Bsinx+x(-Asinx+Bcosx)=(A+Bx)cosx+(B-Ax)sinx
y*''=Bcosx-(A+Bx)sinx-Asinx+(B-Ax)cosx=(2B-Ax)cosx-(2A+Bx)sinx
代入原方程得2Bcosx-2Asinx=sinx，
得A=-½，B=0
故特解为y*=-½x cosx
故原方程的通解为y=C1 sinx+C2 cosx -½x cosx

Answer 2

y″＋a²y＝0的通解是y=c1cosax+c2sinax.
a≠土1时设y=pcosx+qsinx是y''+a^2y=sinx①的解，则
y'=-psinx+qcosx,
y''=-pcosx-qsinx,
都代入①，(-p+a^2p)cosx+(-q+a^2q)sinx=sinx,
所以p=0,q=1/(a^2-1),
①的通解是y=c1cosax+c2sinax+sinx/(a^2-1).
a=土1时设y=x(pcosx+qsinx)是y''+y=sinx的解，
计算从略。

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

特征方程 r^2+a^2 = 0, r = ±ai
a = ±1 时， 设特解 y = x(psinx+bcosx)
则 y' = asinx+bcosx + x(pcosx-bsinx)
y'' = 2pcosx-2bsinx - x(psinx+bcosx)
代入微分方程 y'' + y = sinx, 得 2pcosx-2bsinx = sinx
p = 0， b = -1/2, 特解 y = -(x/2)cosx
通解 y = C1cosx+C2sinx-(x/2)cosx
a ≠ 1 且 a ≠ -1 时， 设特解 y = psinx+bcosx
则 y' = pcosx-bsinx, y'' = -psinx-bcosx
代入微分方程 y'' + a^2y = sinx, 得
-psinx-bcosx + a^2(psinx+bcosx) = sinx
p(a^2-1) = 1, b(a^2-1) = 0, p = 1/(a^2-1), b = 0
特解 y = sinx/(a^2-1)
通解 y = C1cosx+C2sinx + sinx/(a^2-1)
= C1cosx+C3sinx

追问

齐次的通解应该是yh=C1cosax＋C2sinax？

追答

是的， a ≠ 1 且 a ≠ -1 时， 通解 y = C1cosax+C2sinax + sinx/(a^2-1)

Answer 5

The aux. equation
p^2 +a^2=0
p=ai or -ai
let
yg = Acos(ax) +Bsin(ax)
yp =C.cosx +Dsinx
yp' = -C.sinx +Dcosx
yp''= -C.cosx -Dsinx
yp''＋a^2.yp ＝sinx
(-C.cosx -Dsinx) +a^2. [C.cosx +Dsinx] = sinx
(-D + a^2.D)sinx + ( -C +a^2.C)cosx = sinx
=>
-D + a^2.D =1 (1)
-C +a^2.C =0 (2)
from (1)
D = 1/(a^2-1)
from (2)
C = 0

yp =C.cosx +Dsinx =[1/(a^2-1)] sinx
通解
y=yg+yp= Acos(ax) +Bsin(ax) +[1/(a^2-1)] sinx