Question

线性代数：AB=0，r(A)+r(B)<=n，请问此式何时取“=”？

Answer 1

如果矩阵B的列向量组中含有方程组AX=0的一个基础解系，则上述等式成立。
事实上，若矩阵A的秩为r，则方程组的基础解系中含有n-r个解向量，当矩阵B的列向量组中含有AX=0的一个基础解系时，矩阵B的秩就是n-r。
此时，r(A)=r，r(B)=n-r
所以 r(A)+r(B)=n。

Answer 2

齐次线性方程组Ax=0的基础解系有n-r(A)个解。而B的每一个列向量都满足Ax=0，所以如果B有r(B)个线性无关的列向量，那么这r(B)个列向量都是Ax=0基础解系中的元素，所以有r(B)≤n-r(A)，也就是r(A)+r(B)≤n。

Answer 3

性质：r(AB) ≤ r(A)，r(AB) ≤ r(B) 。
你写的 r(A)＋r(B) ≤ 0 不成立。
因为一个矩阵的秩至少也是 0 ，如果成立，只能是 A＝B＝0 。