试确定积分∫(上限1,下限0)1/x∧α在α取何值时发散,何时收敛,收敛于何值？
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A大于等于一的时候是发散的
A小于一的时候是收敛的
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简单分析一下，答案如图所示
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a≠1时
∫(0→1)dx/x^a
=∫(0→1)x^(-a)dx
=x^(1-a)/(1-a)|(0→1)
=lim(t→0+)x^(1-a)/(1-a)|(t→1)
a<1时，这个极限存在，即收敛
a>1时，原式=lim(t→0+)1/(1-a)*1/x^(a-1)|(t→1)，这个极限不存在，即发散
当a=1时，原式=lnx|(0→1)，这个极限不存在，即发散
综上，……
∫(0→1)dx/x^a
=∫(0→1)x^(-a)dx
=x^(1-a)/(1-a)|(0→1)
=lim(t→0+)x^(1-a)/(1-a)|(t→1)
a<1时，这个极限存在，即收敛
a>1时，原式=lim(t→0+)1/(1-a)*1/x^(a-1)|(t→1)，这个极限不存在，即发散
当a=1时，原式=lnx|(0→1)，这个极限不存在，即发散
综上，……
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