Question

求数列极限

（2）（4) （6）（7) 怎么求 求过程

Answer 1

第二题，分子分母同时除以3^n，极限=[1+(-2/3)^n]/[3-2*(-2/3)^n]
极限=1/3
第四题，=sqrt(n)/[sqrt(n+4)+sqrt(n)]*4=sqrt(n)/[sqrt(n)+sqrt(n)]*4=2

Answer 2

（2）分子分母同除以3^(n+1)
原式=lim(n->∞) [1/3+(1/3)*(-2/3)^n]/[1+(-2/3)^(n+1)]
=(1/3+0)/(1+0)
=1/3
（4）分子有理化
原式=lim(n->∞) √n*[√(n+4)-√n][√(n+4)+√n]/[√(n+4)+√n]
=lim(n->∞) √n*(n+4-n)/[√(n+4)+√n]
=lim(n->∞) 4/[√(1+4/n)+1]
=4/[√(1+0)+1]
=2
（6）利用极限的夹逼性
因为2<=2+(sinn)^2<=3
且lim(n->∞) 2^(1/n)=lim(n->∞) 3^(1/n)=1
所以lim(n->∞) [2+(sinn)^2]^(1/n)=1
（7）利用极限的夹逼性
因为n^3+1<n^3+2<...<n^3+n
所以(1+4+...+n^2)/(n^3+n)
<1/(n^3+1)+4/(n^3+2)+...+n^2/(n^3+n)
<(1+4+...+n^2)/(n^3+1)
因为1+4+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

所以(n+1)(2n+1)/6(n^2+1)
<1/(n^3+1)+4/(n^3+2)+...+n^2/(n^3+n)
<n(n+1)(2n+1)/6(n^3+1)
因为lim(n->∞) (n+1)(2n+1)/6(n^2+1)=lim(n->∞) n(n+1)(2n+1)/6(n^3+1)=1/3
所以lim(n->∞) [1/(n^3+1)+4/(n^3+2)+...+n^2/(n^3+n)]=1/3