Question

一道线性代数题题求助

一个n阶矩阵一定有n个特征值（包括重根），且每个特征值至少有一个特征向量对吗？

Answer 1

前半句是对的，但是注意一点，未必全是实数特征值（实对称矩阵一定全是实数特征值）。但是后半句你那句话有点模糊。r重特征值未必对应r个无关的特征向量，但是至少还是有一个的。你的那个“每个特征值”不知道说的是这r个分别算，还是算一个。

Answer 2

你的这句话是否正确，与讨论的数值范围有关。
如果允许复数，则n阶矩阵一定有n个特征值（包括重根），且每个特征值至少有一个特征向量。
而如果只考虑实数，则特征值的可数是≤n，并不一定等于n。下面就是一例子：
0 1
-1 0