Question

在小于5000的自然数中，是11的倍数，并且数字和为13的数共有多少个？

Answer 1

符合条件的数必须是：偶数位之和=12，奇数位之和=1
或奇数位之和=12，偶数为之和=1
这样的两位数，不存在
三位数有：616，715，517，814，418，913，319，共7个
四位数有：1606，1705，1507，1804，1408，1903，1309，3190，3091，4180，4081，共11个
总计18个

Answer 2

设其千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，
且0<a<5
(a+c)-(b+d)=0，且(a+c)+(b+d)=13，不成立
(a+c)-(b+d)=11，且(a+c)+(b+d)=13，得a+c=12，b+d=1，2<a<5
有2*2=4个
(a+c)-(b+d)=-11，且(a+c)+(b+d)=13，得a+c=1，b+d=12，2<b<10
a必为1，c必为0
有1*7=7个
一共有4+7=11个

Answer 3

先说两位数，由于能被11整除的两位数的个位和十位都一样，如11,22,33,44,55,66,77,88,99，使个位和十位之和为奇数13是不可能的。所以两位数有0个。
再说三位数。能被11整数的数的特征是：百位数+个位数-十位数=0，或 百位数+个位数-十位数=11
假定百为数为A，十位数为B，个位数为C，则A+C-B=0或A+C-B=11
由于B不可能是13(只能是0至9这十个数字)，所以A+C-B=11……(1)
另外要求数字和为13，即A+B+C=13……(2)
(1)+(2)得，2(A+C)=24
A+C=12
而B只能是1
这样，A和C只能是3+9,9+3,4+8,8+4,5+7,7+5,6+6这7种可能。于是满足要求的三位数是
319，913,418,814,517,715,616共7个。
最后说四位数。假定千位、百竝、十位、个位分别是A、B、C、D
能被11整除的特征是A+C-(B+D)=0
或A+C-(B+D)=11
同时要满足数字和为13，即A+B+C+D=13……(3)
在A+B+C+D=13的情况下，若A+C=B+D，则A+C和B+D就不可能是整数了，所以排除A+C-(B+D)=0。
取A+C-(B+D)=11……(4)
(3)+(4)得，2(A+C)=24
A+C=12，那么B+D=1即B=0D=1或B=1D=0
再说A+C=12，注意A不能大于5，有以下几种组合：3+9,4+8[5+7都超标]
于是满足要求的四位数有3190,3091,4180,4081共4个。
综合来看，满足要求的数共11个：319，913,418,814,517,715,616，3190,3091,4180,4081