Question

设R1和R2为集合A上的两个等价关系且R1复合R2=R2复合R1，证明R1复合R2是传递的

Answer 1

证明
由交集的定义r1∩r2={(a,b)|(a,b)îr1且(a,b)îr2}。
对任意一个aîa，因为r1和r2都是自反的，所以有(a,a)îr1且(a,a)îr2，因而有(a,a)îr1∩r2，故r1∩r2是自反的。
对任意a,bîa，若(a,b)îr1∩r2，则有(a,b)îr1且(a,b)îr2，由r1和r2的对称性有(b,a)îr1且(b,a)îr2，因而有(b,a)îr1∩r2，故r1∩r2是对称的。
对任意a,b,cîa，若(a,b)îr1∩r2，(b,c)îr1∩r2，则有(a,b)îr1，(b,c)îr1；(a,b)îr2，(b,c)îr2。由r1和r2的传递性有(a,c)îr1，(a,c)îr2，因而有(a,c)îr1∩r2，故r1∩r2是传递的。
由以上三方面知r1∩r2是a上的等价关系。证毕

Answer 2

证明：
自反性：
（a,a)∈R1,(a,a)∈R2
那么（a,a)∈R1∩R2
对称性：
（a,b)∈R1,(b,a)∈R1
（a,b)∈R2,(b,a)∈R2
那么（a,b)∈R1∩R2，则（b,a)∈R1∩R2
传递性：
（a,b)∈R1,(b,c)∈R1,那么(b,c)∈R1
（a,b)∈R2,(b,c)∈R2,那么(b,c)∈R2
那么（a,b)∈R1∩R2,(b,c)∈R1∩R2,那么(b,c)∈R1∩R2
得证