Question

f(x)=xlnx，求函数f(x)的单调区间和最小值

Answer 1

1，解：f(x)=xlnx的定义域为（0，+无穷），
由f(x)=xlnx，
则：
f'(x)=x'lnx+x(lnx)'=lnx+x*(1/x)=lnx+1。
令
f'(x)=0，即：lnx+1=0，
lnx=-1，
x=1/e。
当x属于（0，1/e）时，f‘(x)=lnx+1<0，
所以
f(x)在区间（0，1/e）递减；
当x属于[1/e，+无穷）时，f‘(x)=lnx+1
>0，
所以f(x)在区间[1/e，+无穷）递增。
所以当x=1/e时，函数f(x)有最小值
-1/e。
2，

Answer 2

你们有学过导数吗，求导就好解题如下
(1)f'=lnx+1
令f'=0
解得
x=1/e
即
当x<1/e时，f'<0
单调递减
当x>1/e时
f'>0
单调递增
故
当x=1/e时，有最小值f(x)=-1/e
(2)先构造一个函数y=x^x
两边取对数得
lny=xlnx
两边求导
y'/y=lnx+1
得y'=x^x(lnx+1)
令y'=0
又x>0
故lnx+1=0
解得x=1/e
之后的解题步骤同（1）

Answer 3

（1）f(x)导数为lnx+1,由它大于0得增区间为x>1/e;
小于0得减区间为0<x<1/e;
min=f(1/e)=-1/e.
（2）由（1）知x=1/e时f(x)取最小值ln[(1/e)^(1/e)],故b>0时有ln[b^b]>ln[(1/e)^(1/e)]；
又因为lnx为增，故b^b>
=(1/e)^(1/e)，得证。

Answer 4

（1）f(x)导数为lnx+1,由它大于0得增区间为x>1/e;
小于0得减区间为0
0时有ln[b^b]>ln[(1/e)^(1/e)]；
又因为lnx为增，故b^b>
=(1/e)^(1/e)，得证。