Question

观察式子找规律9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20

那么第五个式子是？ 第十个式子是？

Answer 1

第五个式子是30，第10个式子是44。

由所给关系式可知其通式为：

(n+2)²-n²=(n+2+n)(n+2-n)=4(n+1)（n=1,2,3,...）

n=1时，(n+2)²-n²=(1+2)²-1²=3²-1²=9-1=4(1+1)=8。

n=2时，(n+2)²-n²=(2+2)²-2²=4²-2²=16-4=4(2+1)=12。

所以n=5时，(n+2)²-n²=(5+2)²-5²=7²-5²=49-25=4(5+1)=30。

n=10时，(n+2)²-n²=(10+2)²-10²=12²-10²=144-100=4(10+1)=44。

介绍

找规律填空的意义，实际上在于加强对于一般性的数列规律的熟悉，虽然它有很多解，但主要是培养你寻找数列一般规律和猜测数列通项的能力（即运用不完全归纳法的能力）。

以便于在碰到一些不好通过一般方法求通项的数列时，能够通过前几项快速准确地猜测到这个数列的通项公式，然后再用数学归纳法或反证法或其它方法加以证明，绕过正面的大山，快速地得到其通项公式。

Answer 2

解：由所给关系式可知其通式为

(n+2)²-n²=(n+2+n)(n+2-n)=4(n+1)

（n=1,2,3,...）

n=1时，(n+2)²-n²=(1+2)²-1²=3²-1²=9-1=4(1+1)=8

n=2时，(n+2)²-n²=(2+2)²-2²=4²-2²=16-4=4(2+1)=12

n=3时，(n+2)²-n²=(3+2)²-3²=5²-3²=25-9=4(3+1)=16

...

n=5时，(n+2)²-n²=(5+2)²-5²=7²-5²=49-25=4(5+1)=30

...

n=10时，(n+2)²-n²=(10+2)²-10²=12²-10²=144-100=4(10+1)=44

...
答：第五个式子是
49-25=30，第10个式子是144-100=44。

Answer 3

解；观察：（一）9-1=8,

3²-1=2×4

（二）16-4=12,

4²-2²=3×4

（三）25-9=16,

5²-3²=4×4

（四）36-16=20，
6²-4²=5×4

所以，第四个式子是：

7²-5²=6×4=24

第十个式子是：

12²-10²=10×4=44

答，第五个:
7²-5²=24,
第十个是12²-10²=44.

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