Question

解dy/dx=y/[2(lny-x)]这个微分方程

Answer 1

第一题
dx/dy=2(lny-x)/y
即dx/dy+2x/y=2lny/y
常数变易法
先求
dx/dy+2x/y=0的解
为
x=c/y^2
设x=t(y)/y^2
所以dx/dy=d(t/y^2)/dy=[(y^2dt-t*2ydy)/y^4]/dy=(1/y^2)dt/dy-2t/y^3
代入原式得
(1/y^2)dt/dy-2t/y^3+2t/y^3=2lny/y
dt=2ylnydy
两边积分
右边可以查积分表自己积下(还是不会的话
我再帮你积)
然后把t=xy^2代入即可
第二题
设
arctanx=t
则x=tant
dx=d(tant)=sec^2
(t)dt
因为x
=
1--无穷大
所以t=
π/4---π/2
原题可化为
∫上限π/2下限π/4
(t/tan^2
t)*
sec^2
t
dt
∫上限π/2下限π/4
t*csc^2
(t)dt
-∫上限π/2下限π/4
t
d(cot
t)
-t
*
cot
t
+∫上限π/2下限π/4
cot
t
dt
-t*
cot
t
+
ln
|sint|
-
π/2*
cot
π/2
+
ln(sinπ/2)
-
[-π/4*cot
π/4
+
ln(sinπ/4)
]
=-0
+0
-[-π/4
+ln(根号2/2)
]
=
π/4-ln(根号2/2)
注意:第二题
对于
t*csc^2
(t)dt
积分
用到的方法是
udv=d(uv)-vdu
这个方法是在
vdu比udv容易积分时用的
最后答案
π/4-ln(根号2/2)
应该没错