Question

线性代数计算题如图，二次型的负惯性指数如何求的

Answer 1

首先,
利用惯性定理可以不妨设a已经是合同标准型a=diag{i_p,-i_q,0}
然后把a拆成a1=diag{i_p,0,0},
a2=diag{0,-i_q,0}
那么对任何k都有a2+b的第k大特征值不超过b的第k大特征值(可以用courant-fischer极大极小定理证明)
所以a2+b的正惯性指数不超过b的正惯性指数
然后a1的后两块就没必要细分了,
只需划分成
i_p
0
0
0
a2+b相应地划分成
b1
b2^t
b2
b3
由cauchy交错定理,
b3的正惯性指数不超过a2+b的正惯性指数
再用一次cauchy交错定理,
a1+a2+b的正惯性指数不超过b3的正惯性指数+p