Question

已知0＜a＜1，求1/a+4/（1-a）的最小值

Answer 1

1.
如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了：
(1)柯西不等式变式：
a1^2/b1
+
a2^2/b2
+...an^2/bn
≥（a1+a2+...an）^2/（b1+b2...+bn）
当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等号成立
代入
1/a+4/(1-a)≥(1+2)^2*(a+1-a)=9
当a=1/3是等号取到
(2)还可以把变式证明一遍：
（1/a+4/(1-a)）（a+1-a）=1+4+1*(1/1-a)+4(1-a/a)≥9
2.
如果你不知道，那么观察a，0
0则必在(0,1)上有根，直接△≥0
得到y≥9
或y≤1
y=9时，
a=1/3成立
所以
原式≥9