Question

已知复数z1、z2满足|z1|=|z2|=1,且z1+z2=-i,求z1和z2的值

Answer 1

z1
+
z2
=-i
z1=-i-z2
|z1|=1
|-i-z2|=1
|z2+i|=1
|z2+i|^2=1^2
因为|z|^2=z*(z-)
z-代表z的
共轭复数

所以(z2+i)((z2-)-i)=1
z2*(z2-)-z2i+(z2-)i+1=1
|z2|^2+i[(z2-)-z2]=0
i[(z2-)-z2]=-1
设z2=a+bi
a,b是实数
i(a-bi-(a+bi))=-1
-2bi^2=-1
-2b=1
b=-1/2
因为a^2+b^2=1
所以a=±√(1-b^2)=±√3/2
当z2=√3/2-1/2i时
z1=-i-z2=-√3/2-1/2i
当z2=-√3/2-1/2i时
z1=-i-z2=√3/2-1/2i

Answer 2

Z1、Z2在半径为1的圆上，观察得：
Z1、Z2夹角为-30度，-150度，相加组成等边三角形时，Z1+Z2=-i等式成立，所以：Z1=根3/2-i/2;
Z2=-根3/2-i/2。

Answer 3

由z1=2+i且z1?z2=3+4i，
若|z1|＞|z2|，根据给出的定义运算，则z2＝
3+4i
2+i
＝
(3+4i)(2?i)
(2+i)(2?i)
＝
10+5i
5
＝2+i
此时|z1|＝|z2|＝
22+12
＝
5
，与|z1|＞|z2|矛盾．
若|z1|≤|z2|，根据给出的定义运算，则z2=（3+4i）-（2+i）=1+3i．
此时|z1|＝
5
，|z2|＝
12+32
＝
10
，符合|z1|≤|z2|．
所以，复数z2=1+3i．
故选b．