Question

导数计算

已知函数 f(x)=ax-b/x ,曲线y=f(x)在点（2，f(2)）的切线方程为7x-4y-12=0
（1）求f(x)解析式 （2）证明曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0 和 y=x 所围成三角形面积为定值，求此定值。

求详细步骤 谢谢啦
函数 f(x)=ax-b/x的导数为： a+b/x^2 那么当x=2时，a+b/4=切线斜率=7/4（方程二）

关于这一步为什么要求导数， a+b/4=切线斜率为什么会等于切线斜率

Answer 1

（1）将点（2，f(2)）代入切线方程7x-4y-12=0 ， 可以得到f(2)=y=1/2
因此 f(x)=ax-b/x 可以得到 1/2=f(2)=2a-b/2 (方程一）
函数 f(x)=ax-b/x的导数为： a+b/x^2 那么当x=2时，a+b/4=切线斜率=7/4（方程二）
由方程一与方程二可以解得 a=1， b=3
f(x)=x-3/x
(2) 此题只有当x>0且y>0同时满足时，才能满足要求，即在第一象限时满足题目要求， 此时面积是7/2，在其他象限并不满足题目要求，所以第二问并不严谨
为什么要求导数是因为若不求导数，那么我们只有一个方程解不出两个未知数a，b
所以我们要利用导数建立方程，一个函数的导数可以简单的理解为这个函数的斜率，因此在f（x）在x=2时的导数就是该点切线的斜率

Answer 2

（1）将点（2，f(2)）代入切线方程7x-4y-12=0 ， 可以得到f(2)=y=1/2
因此 f(x)=ax-b/x 可以得到 1/2=f(2)=2a-b/2 (方程一）
函数 f(x)=ax-b/x的导数为： a+b/x^2 那么当x=2时，a+b/4=切线斜率=7/4（方程二）
由方程一与方程二可以解得 a=1， b=3
f(x)=x-3/x