Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A、C的坐标分别为（2，0）、（1，33）．将△AOC绕AC的中点旋转

Answer 1

解答：

（1）证明：∵△AOC绕AC的中点旋转180°，
点O落到点B的位置，
∴△ACO≌△CAB．
∴AO=CB，CO=AB，
∴四边形ABCO是平行四边形．
（2）解：∵抛物线y=ax2-2
3
x经过点A，
点A的坐标为（2，0），
∴4a?4
3
＝0，
解得：a＝
3
．
∴y=
3
x2-2
3
x．
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OA∥CB．
∵点C的坐标为（1，3
3
），
∴点B的坐标为（3，3
3
）．
把x=3代入此函数解析式，得：y=
3
×32-2
3
×3=3
3
．
∴点B的坐标满足此函数解析式，点B在此抛物线上．
∴顶点D的坐标为（1，-
3
）．
（3）连接BO，
过点B作BE⊥x轴于点E，
过点D作DF⊥x轴于点F．
tan∠BOE=
3
，tan∠DAF=
3
，
∴tan∠BOE=tan∠DAF．
∴∠BOE=∠DAF．
∵∠APD=∠OAB，
∴△APD∽△OAB．
设点P的坐标为（x，0），
∴
AP
OA
＝
AD
OB
，
∴
2?x
2
＝
2
6
，
解得：x=
4
3
．
∴点P的坐标为（
4
3
，0）．
（4）

分三种情况进行讨论：
①如第一个图：此时QD=AP=1，因此OP=OA-1=1，P点的坐标为（1，0）；
②如第二个图：此时OP=OA+AP=3，P点的坐标为（3，0）；
③如第三个图：此时D，Q两点的纵坐标互为相反数，因此Q点的坐标为（0，
3
），根据A，D的坐标可求出直线AD的解析式为y=
3
x-2
3
，由于QP∥AD，因此直线PQ的解析式为y=
3
x+
3
，可求得P点的坐标为（-1，0）．
综上所述，共有3个符合条件的P点的坐标，即P1（1，0），P2（-1，0），P3（3，0）．