Question

数列有界和数列收敛

Answer 1

1.数列收敛一定是有界。书上应该有证明，很简单的，由定义知对于任意的E>0,存在N>0,使得对于n>N,|An-C|<E,由E的任意性取E=1，这有|An|<C+1,这就知道数列是有界的。
2.而有界不一定收敛，反例很多的。如最简单的An=（-1）^n,显然是有界的，但是不收敛。
有一个很有用的定理：单调有界数列是收敛的。
初学要多看书，适当得做做习题。

Answer 2

有界不一定有收敛{-1,1，-1,1，-1,1，-1,1……}
有界不一定有极限{sin1，sin2，sin3，sin4，sin5……}
数列收敛必有界
数列收敛必有极限
数列有极限必有界
数列有极限必收敛

即
数列有极限＜===＞数列收敛===＞数列有界