Question

求根号下（1-x/x）的不定积分

Answer 1

结果是 (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C

x = sinθ，dx = cosθ dθ
∫ √(1 - x²) dx = ∫ √(1 - sin²θ)(cosθ dθ) = ∫ cos²θ dθ
= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ = θ/2 + (sin2θ)/4 + C
= (arcsinx)/2 + (sinθcosθ)/2 + C
= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x²))/2 + C
= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C

拓展资料

这个根号下的不定积分，符合模型∫√a²-x² dx，本题中就是a=1的情况。根据sin²x+cos²x=1，用sinθ替换x，然后被积函数，被积变量都要改变。

要做出如图所示的三角形，更容易加深理解。最后要把中间变量θ变回x

Answer 2

变元
x=cos^2
t
dx=-2cost
sint
dt
假设t在第一象限
1-x=1-cos^2
t=sin^2
t
根号(1-x/x)=根号(tan^2
t)=tan
t
根号下（1-x/x）的不定积分
=∫
tan
t*-2cost
sin
t
dt
=∫
-2sin^2
t
dt
=∫
(cos
2t
-1)
dt
半角公式
=(sin2t)/2-t+C
cost=根号x,sint=根号(1-cost^2)=根号(1-x)
t=arc
cos
(根号x)
(sin2t)/2=sintcost=根号(x(1-x))
所以
根号下（1-x/x）的不定积分=根号(x(1-x))-arc
cos
(根号x)+C