Question

已知a∧2+b∧2=m ,x∧2+y∧2=n, 求ax+by的最大值

Answer 1

a∧2+b∧2=m
,x∧2+y∧2=n相加得a∧2+b∧2
+x∧2+y∧2=n+m
因为a∧2+b∧2
+x∧2+y∧2>=2(ax+by)
所以ax+by<=(1/2)(n+m)
当a=x
b=y
时
ax+by取最大值(1/2)(n+m)=n或m

Answer 2

两个式子左右相加：x^2+a^2+y^2+b^2=m+n
x^2+a^2≥2ax,y^2+b^2≥2by(均值不等式)
不等式左右相加：x^2+a^2+y^2+b^2≥2ax+2by
不等式左边=m+n
所以:m+n≥2ax+2by
ax+by≤(m+n)/缉定光剐叱溉癸税含粳;2
ax+by的最大值为:(m+n)/2

Answer 3

由Cauchy不等式
(ax+by)^2<=(a^2+b^2)(x^2+y^2)=mn
-(mn)^(1/2)<=ax缉定光剐叱溉癸税含粳+by<=(mn)^(1/2)
则最大值为(mn)^(1/2)