Question

微积分问题，求以下不定积分，提前感谢！

看了各位的方法，都非常精彩，实在是万分感谢。第三问是pi/2，那位老师应该是中间算错了。
这里我就选回答最快的采纳了，也真心感谢剩下的回答者，尤其运用积化和差的方法非常巧妙，学到了！

Answer 1

。。。。第(2)题的被积函数是奇函数，其在对称区间上的积分=0；

Answer 2

追问

你是怎么从sin^4(theta)那行直接算出下面一行的啊求教

追答

有公式的啊！

Answer 3

Answer 4

分享一种解法。①和③应用“贝塔函数【B(a,b)】和伽玛函数【Γ(α)】的关系和性质求解。【B(a,b)=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b),a>0,b>0；Γ(α+1)=αΓ(α)；Γ(1/2)=√π】，②利用定积分的性质求解。
①∫(-1,1)xf(x)dx。∵xf(x)为偶函数，令x²=t，∴∫(-1,1)xf(x)dx=∫(0,1)[4t^(3/2)-3t^(1/2)]dt/√(1-t)=4B(5/2,1/2)-3B(3/2,1/2)。
而，B(5/2,1/2)=Γ(5/2)Γ(1/2)/Γ(5/2+1/2)=(3/2)(1/2)Γ²(1/2)/(2!)=3π/8。同理，B(3/2,1/2)=π/2。∴∫(-1,1)xf(x)dx=4*3π/8-3*π/2=0。
②∫(-1,1)(2x²-1)f(x)dx。∵(2x²-1)f(x)为奇函数，且积分区间对称，根据定积分的性质，得∫(-1,1)(2x²-1)f(x)dx=0。
③∫(-1,1)(4x³-3x)f(x)dx=∫(-1,1)(4x³-3x)²dx/√(1-x²)=∫(-1,1)(4x²-3)²x²dx/√(1-x²)。被积函数是偶函数，令x²=t，仿①过程，有∫(-1,1)(4x³-3x)f(x)dx=∫(0,1)[16t^(5/2)-24t^(3/2)+9t^(1/2)]dt/√(1-t)=16B(7/2,1/2)-24B(5/2,1/2)+9B(3/2,1/2)=…=π/2。
供参考。