Question

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按要求解答

Answer 1

（1）①过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，
得∠HPN=90°，∴∠HPC+∠CPN=90°.
而∠CPN+∠NPD=90°，
∴∠HPC=∠NPD.
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PH=PN，
又∵∠PHC=∠PND=90°，
∴△PCH≌△PDN，
∴PC=PD.
②∵PC=PD，∴∠PDG=45°，
而∠POD=45°，∴∠PDG=∠POD.
又∵∠GPD=∠DPO，
∴△POD～△PDG.
∴.
（2）若PC与边OA相交，
∵∠PDE＞∠CDO，
∴△PDE～△OCD，
∴∠CDO=∠PED，
∴CE=CD，而CO⊥ED，
∴OE=OD，
∴OP=ED=OD=1.
若PC与边OA的反向延长线相交，
过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，
∵∠PDE＞∠EDC，
∴△PDE～△ODC，
∴∠PDE=∠ODC.
∵∠OEC＞∠PED，∴∠PDE=∠HCP.
而PH=PN，∴Rt△PHC≌Rt△PND，
∴HC=ND，PC=PD，∴∠PDC=45°，
∴∠PDO=∠PCH=22.5°，
∴OP=OC.设OP=x，则OH=ON=二分之根号二，
∴HC=DN=OD－ON=1－二分之根号二，而HC=HO+OC=二分之根号二+x，
∴1－二分之根号二=二分之根号二+x，∴x=根号二减一，即OP=根号二减一