Question

连通集、闭区域？开集、区域？

Answer 1

反证法：若区域d中有两个点a
b没有道路连通，定义a＝｛x：x与a有道路连通｝b＝｛x:与a没有道路连通｝，则a
b非空，互不相交，且a并b为d，只要证明a
b皆为开集，则得到矛盾（连通开集不能分解为两个互不相交的非空开集之并）。证明a连通：任取x位于a，由于d开集，存在球b(x
r)位于d中，显然b(x
r)中每一点与x有道路连通，因此与a有道路连通，故a是开集。证明b连通类似：任取y位于b，存在球b(y
r)位于d中，则b(y
r)中任一点与y有道路连通，于是不能与a有道路连通，否则y就与a道路连通，与b的构造矛盾，因此b开集。

Answer 2

还是有区别的，呵呵：
区域一定是开集，但是开集不一定是区域；例子，R^2平面上两个不相交的开圆，它们是开集但不是连通的。
连通集和开集没有任何关联，上面的例子说明，开集可以是不连通的，同时，平面上的闭圆是闭集不是开集，但却是连通的。
区域一定是连通集（由定义），但是连通集不一定是区域，就像上面提到的闭圆。
闭区域是闭集，就像刚才提到的单独的闭圆就组成了闭区域。但是，注意它的定义，它一定是由区域和它的边界组成的，换句话说，闭区域比原区域多了边界，成为了闭集，这就是它们之间的差异。如果是一个半开半闭的圆，它不是闭区域，也不是开区域，因为它既不是开集也不是闭集。另外，不难推断闭区域是连通的。