Question

求大神给下数学题过程，看书看不懂

求大神给下数学题过程，看书看不懂

Answer 1

（1）设M，m是两个常数，m≤f(x,y)≤M，则积分：
∫∫（D）mdxdy≤∫∫（D）f(x,y)dxdy≤∫∫（D）Mdxdy
前后两个积分常数提出去后，∫∫（D）dxdy就是区域D的面积S，因此：
mS≤∫∫（D）f(x,y)dxdy≤MS
这就是估值不等式。
本题0≤x²+y²≤1，是一个圆，圆心（0，0），半径R=1
f（x，y）=x²+4y²+1=（x²+y²）+3y²+1
3y²+1≤（x²+y²）+3y²+1≤3y²+2
y²最小0，最大1，所以：
1≤（x²+y²）+3y²+1≤5
积分区域D的面积=π
所以
π≤∫∫（D）(x²+4y²+1)dxdy≤5π
实际上（0，0）只有1个，（0，1）也只有1个，上面的等号不成立：
π<∫∫（D）(x²+4y²+1)dxdy<5π
(2)就是积分区域的面积，是椭圆，椭圆面积=πab=12π
（3）积分区间关于x轴对称，对于y，被积函数是奇函数，积分=0